Пример по вариационному исчислению

[Sega611]

Здравствуйте. Мне нужно решить задачу вариационного исчисления
$\int_0^1(y'^2+xy)dx\to min$
$y(0)=y(1)=0$

Правильно ли я решил?
$F(x,y,y')=y'^2+xy$
Запишем уравнение Лагранжа-Эйлера
$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'}=0$
$x-2y''=0$
$y=\frac{x^3}{12}+C_1x+C_2$
$y(0)=0 \Rightarrow C_2=0$
$y(1)=0 \Rightarrow C_1=\frac{-1}{12}$
$y=\frac{x^3}{12}-\frac{x}{12}$ - единственная экстремаль для этой задачи.

от модератора AD:
Звёздочка обозначает свёртку. Сколько можно объяснять?
Да, а еще "Логранж" пишется через Ааа.

[AD]

Ну да, всё верно, только это еще не решение. По-хорошему еще надо проверить, действительно ли эта экстремаль - минимум.