Ряд Фурье по синусам.

[big_fizik]

Рaзлoжить в тригон. ряд Фyрье дaнной фyнкции по синусам на укaзaннoм oтрезке. Пoстрoить графиk функции $f(x)$ и сyммы рядa Фyрье $S(x)$

$f(x)=-(x+1)^2$ , $0\leqslant x\leqslant \pi$

Не понятно, как построить график суммы ряда...

Продолжим нечетным образом $f(x)$ на промежуток $-\pi \leqslant x\leqslant 0$

$S(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n\cdot{\sin nx}$

$$b_n=-\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(1+x)^2\sin nx\cdot dx=-\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin nx\cdot dx-\dfrac{2}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}x\sin nx\cdot dx-\dfrac{2}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}x^2\sin nx\cdot dx=0+\dfrac{2}{\pi n}\int\limits_{-\pi}^{\pi}x(\cos nx)'\cdot dx+0$$

$$b_n=\dfrac{2}{\pi n}\int\limits_{-\pi}^{\pi}x(\cos nx)'\cdot dx=\left.\dfrac{2}{\pi n}x\cos nx\right|_{-\pi}^{\pi}-\dfrac{2}{\pi n}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cdot dx=2\dfrac{\pi \cos \pi n+\pi \cos \pi n}{\pi n}-0=\dfrac{4}{n}\cos \pi n=\dfrac{4}{n}(-1)^n$

$$S(x)=4\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n}\cdot{\sin nx}$$

[Koftochka]

Интеграл для коэффициента $b_n$ другой:

\[b_n = - \frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi (x + 1)^2\sin nx\,dx\[

[invisible1]

Так ведь это одно и тоже)

[Koftochka]

invisible1 в сообщении #278145 писал(а):

Так ведь это одно и тоже)

ага, "одно и тоже") только ответы разные))

[invisible1]

Почему же разные? Я таким способом считал, потому что там получаются интегралы от нечетных функций по симметричному промежутку, которые успешно обращаются в ноль. Ответ должен быть такой же, если нет ошибок в арифметике) И все же! Как нарисовать график суммы ряда? Сначала его нужно упростить как-то?

[ewert]

invisible1 в сообщении #278248 писал(а):

Я таким способом считал, потому что там получаются интегралы от нечетных функций по симметричному промежутку,

Но Вы же не продолжили эту функцию нечётным образом. Вы попросту продолжили её так, как она была.

[invisible1]

да, ewert, спасибо! По идее должно быть так тогда...
$$b_n=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{0}(1+x)^2\sin nx\cdot dx-\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}(1+x)^2\sin nx\cdot dx=...$

Дальше нужно честно считать или можно как-то проще?!

[ewert]

Нет.

[invisible1]

да, уж, что-то я опять ошибся....
$b_n=-\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{0}(x-1)^2\sin nx\cdot dx-\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}(x+1)^2\sin nx\cdot dx= =0+\dfrac{2}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{0}x\sin nx\cdot dx-\dfrac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}x\sin nx\cdot dx+0= =\dfrac{2}{\pi n}\int\limits_{-\pi}^{0}x(\cos nx)'\cdot dx-\dfrac{2}{\pi n}\int\limits_{0}^{\pi}x(\cos nx)'\cdot dx$
$b_n=\left.\dfrac{2}{\pi n}x\cos nx\right|_{-\pi}^{0}-\dfrac{2}{\pi n}\int\limits_{-\pi}^{0}\cos nx\cdot dx-\left.\dfrac{2}{\pi n}x\cos nx\right|_{0}^{\pi}+\dfrac{2}{\pi n}\int\limits_{0}^{\pi}\cos nx\cdot dx=\dfrac{2}{n}\cos \pi x - 0 - \dfrac{2}{n}\cos \pi x+0=0$

о_0 Опять что-то не то(((

[ewert]

Потому, что на этот раз Вы продолжили её по чётности.

А зачем, собственно, её вообще проодолжать? Делайте так, как предлагала Koftochka

[invisible1]

$S(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n\cdot{\sin nx}$

$b_n=-\dfrac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}(1+x)^2\sin nx\cdot dx=-\dfrac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\sin nx\cdot dx-\dfrac{4}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}x\sin nx\cdot dx-\dfrac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}x^2\sin nx\cdot dx=\left.\dfrac{2}{\pi n}\cos nx\right|_{0}^{\pi}+ \dfrac{4}{\pi n}\int\limits_{0}^{\pi}x(\cos nx)'\cdot dx+\dfrac{2}{\pi n}\int\limits_{0}^{\pi}x^2(\cos nx)'\cdot dx$ $$b_n=\dfrac{2}{\pi n}(\cos \pi n - 1)+\left.\dfrac{4}{\pi n}x\cos nx\right|_{0}^{\pi}- \dfrac{4}{\pi n}\int\limits_{0}^{\pi}\cos nx\cdot dx+\left.\dfrac{2}{\pi n}x^2\cos nx\right|_{0}^{\pi}-\dfrac{4}{\pi n}\int\limits_{0}^{\pi}x\cos nx\cdot dx$$

$$b_n=\dfrac{2}{\pi n}(\cos \pi n - 1)+\dfrac{4}{n}\cos \pi n - 0 +\dfrac{2\pi}{n}\cos \pi n - \dfrac{4}{\pi n^2}\int\limits_{0}^{\pi}x(\sin nx)'\cdot dx$$

$$b_n=\dfrac{2}{n}\cos \pi n(\dfrac{1}{\pi}+2+\pi)-\dfrac{2}{\pi n}-\dfrac{4}{\pi n^2}\int\limits_{0}^{\pi}\sin nx\cdot dx$$

$$b_n=\dfrac{2}{n}\cos \pi n(\dfrac{1}{\pi}+2+\pi)-\dfrac{2}{\pi n}+\left.\dfrac{4}{\pi n^3}\cos nx \right|_{0}^{\pi}$$

$$b_n\dfrac{2}{n}\cos \pi n(\dfrac{1}{\pi}+2+\pi)-\dfrac{2}{\pi n}+\dfrac{4}{\pi n^3}(\cos \pi n -1)$$

$$b_n=\dfrac{2}{\pi n}[(-1)^n(1+2\pi +{\pi}^2+\dfrac{2}{n^2})-1-\dfrac{2}{n^2}]$$

Получилось так...

-- Чт янв 07, 2010 18:35:07 --

И все-таки...

$$b_n=-\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(1+x)^2\sin nx\cdot dx = - \frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi (x + 1)^2\sin nx\,dx$$

Верно ли это равенство?!

[Koftochka]

invisible1 в сообщении #278296 писал(а):

И все-таки...

$$b_n=-\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(1+x)^2\sin nx\cdot dx = - \frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi (x + 1)^2\sin nx\,dx$$

Верно ли это равенство?!

Нет!

Продолжи нечетным образом эту функцию правильно

\[f(x) = \begin{cases} (x-1)^2, & \text{if} ~ -\pi \leqslant x < 0 \\ -(x+1)^2, & \text{if } ~\quad 0 \leqslant x \leqslant \pi \end{cases}\[

Тогда

\[b_n = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^0 (x-1)^2 \sin nx\,dx -\frac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi (x+ 1)^2 \sin nx\,dx = -\frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi (x+1)^2\sin nx\,dx .\[

[Koftochka]

big_fizik в сообщении #278124 писал(а):

Рaзлoжить в тригон. ряд Фyрье дaнной фyнкции по синусам на укaзaннoм oтрезке. Пoстрoить графиk функции $f(x)$ и сyммы рядa Фyрье $S(x)$

$f(x)=-(x+1)^2$ , $0\leqslant x\leqslant \pi$

Не понятно, как построить график суммы ряда...

Я так понимаю, надо нарисовать график самой функции и нескольких частичных сумм её ряда Фурье (например, $S_1,~S_3,~S_5,~S_{10}$) на указанном интервале.




Вроде бы, не ошиблась.

[invisible1]

Koftochka в сообщении #278346 писал(а):

big_fizik в сообщении #278124 писал(а):

Рaзлoжить в тригон. ряд Фyрье дaнной фyнкции по синусам на укaзaннoм oтрезке. Пoстрoить графиk функции $f(x)$ и сyммы рядa Фyрье $S(x)$

$f(x)=-(x+1)^2$ , $0\leqslant x\leqslant \pi$

Не понятно, как построить график суммы ряда...

Я так понимаю, надо нарисовать график самой функции и нескольких частичных сумм её ряда Фурье (например, $S_1,~S_3,~S_5,~S_{10}$) на указанном интервале.




Вроде бы, не ошиблась.

Спасибо! А вы точно не перепутали знаки, я перепроверял еще раз
Может должно быть так?

$$S_k=\sum\limits_{n=1}{k}\dfrac{(\pi+1)n^2(-1)^n+2(-1)^n-n^2-2}{n^3}\sin nx$$

[Koftochka]

invisible1 в сообщении #279440 писал(а):

Спасибо! А вы точно не перепутали знаки, я перепроверял еще раз
Может должно быть так?

\[S_k=\sum\limits_{n=1}{k}\dfrac{(\pi+1)n^2(-1)^n+2(-1)^n-n^2-2}{n^3}\sin nx\[

Точно не перепутала:

\[\begin{gathered} b_n = - \frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi {{{\left( {x + 1} \right)}^2}\sin nx\,dx} = \left. {\frac{2} {{\pi n}}{{\left( {x + 1} \right)}^2}\cos nx} \right|_0^\pi - \frac{4} {{\pi n}}\int\limits_0^\pi {\left( {x + 1} \right)\cos nxdx} = \hfill \\ = \frac{{2{{\left( {\pi + 1} \right)}^2}{{\left( { - 1} \right)}^n}}} {{\pi n}} - \frac{2} {{\pi n}} - \left. {\frac{4} {{\pi {n^2}}}\left( {x + 1} \right)\sin nx} \right|_0^\pi + \frac{4} {{\pi {n^2}}}\int\limits_0^\pi {\sin nxdx} = \hfill \\ = \frac{{2{{\left( {\pi + 1} \right)}^2}{{\left( { - 1} \right)}^n} - 2}} {{\pi n}} - \left. {\frac{4} {{\pi {n^3}}}\cos nx} \right|_0^\pi = \frac{{2{{\left( {\pi + 1} \right)}^2}{{\left( { - 1} \right)}^n} - 2}} {{\pi n}} - \frac{{4{{\left( { - 1} \right)}^n} - 4}} {{\pi {n^3}}} = \hfill \\ = \frac{2} {\pi }\frac{{{{\left( {\pi + 1} \right)}^2}{n^2}{{\left( { - 1} \right)}^n} - 2{{\left( { - 1} \right)}^n} - {n^2} + 2}} {{{n^3}}}. \hfill \\ \end{gathered}\[

\[\boxed{S_k= \frac{2}{\pi}\sum\limits_{n=1}^k \frac{(\pi+1)^2 n^2 (-1)^n - 2(-1)^n - n^2 + 2}{n^3}\,\sin nx}}\[

Будь внимательней, в то препод замучает!