Парадоксы теории множеств

[Lyosha]

Существуют ли в теории множеств парадоксы кроме парадоксов Рассела и Кантора?В частности,связано ли со множеством всех множеств ещё какое-либо противоречие кроме парадокса Кантора?

[tori]

В теории множеств парадоксов много. Кроме проблемы универсального множества, отдельно стоит парадоксы связанные с аксиомой выбора(например парадокс Банаха — Тарского, где показываеться, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям). В интернете масса информации посвящённая этому.

[AD]

Давайте не путать только. Парадокс Рассела и прочие на него похожие являются противоречиями в некоторой конкретной теории множеств (называемой "наивной" теорией множеств), которая, тем не менее, уже давно не является общепринятой именно по причине противоречивости.

Парадоксы Банаха-Тарского и прочие не являются противоречиями, а являются вполне себе теоремами (пусть и необычными, но не вызывающими трудностей) в совсем другой теории множеств (скажем так, в аксиоматике ZFC); эта теория как раз и принята сейчас в качестве основания математики, и в ней противоречий пока не обнаружено.

[Sasha2]

Мне вот как-то интуитивно кажется, что все таки в наивной теории множеств нет противоречий, а есть всего-лишь размытость определения самого понятия множеств, чем и пользуются не очень добросовестно.

[tori]

Согласен с вами. Теоремы такие есть, и названы они так же как и соответствующие парадоксы. Просто всё таки

Цитата:

Парадо́кс (от др.-греч. παράδοξος — неожиданный, странный от др.-греч. παρα-δοκέω — кажусь)

коим утверждение о шарах и является(хоть и в реальность так разрезать шар мы не сможем). В итоге, результаты, получены Банахом, Тарским и Хаусдорфом, есть и теоремой и парадоксом одновременно, в моём понимани.

Sasha2 в сообщении #278280 писал(а):

Мне вот как-то интуитивно кажется, что все таки в наивной теории множеств нет противоречий, а есть всего-лишь размытость определения самого понятия множеств, чем и пользуются не очень добросовестно.

На сколько я помню, множество - понятие первородное, как же его можно определить, аксиомы лишь показывают свойства этого объекта.

[Sasha2]

Ну точно также, как и прямую в геометрии или плоскость.
Тоже ведь первородные понятия, а противоречий там, кажется до сих пор не обнаружено.
Хотя вот если начать их выворачивать также наизнанку, то наверно также можно и геометрию скомпроментировать, как и наивную теорию множеств.

[AD]

Ну да, Кантор достаточно размыто всё сформулировал, поэтому, собственно, его сильно критиковали. Сейчас его текст можно довести до ума (ну то есть аппарат матлогики уже достаточно развит), но при этом как раз и появляются противоречия. Как-то так.

-- Чт янв 07, 2010 17:21:39 --

Sasha2 в сообщении #278293 писал(а):

Хотя вот если начать их выворачивать также наизнанку, то наверно также можно и геометрию скомпроментировать, как и наивную теорию множеств.

Ну еще Гильберт геометрию формализовал. То есть строго изложил. Поэтому даже называется так - аксиоматика Гильберта. Противоречий в геометрии - не больше, чем в арифметике вообще.

[Sasha2]

А мне все-таки кажется, что противоречия эти достаточно искусственные.
Но вот хотя бы этот знаменитый парадокс с цирюдьником, который бреет всех, кто себя сам не бреет.
Применительно к каждому мужику из этого села можно написать:
Васю_1 бреет цирюльник, если Вася_1 не бреется сам.
Васю_2 бреет цирюльник, если Вася_2 не бреется сам.
и так далее
Васю_n бреет цирюльник, если Вася_n не бреется сам.

В конечном счете получим, что
Цирюльник бреет цирюльника, если цирюльник не бреется сам. Или более грубо, расшифровав, Цирюльник бреет цирюльника, если цирюльник не бреет цирюльника.

Это как в сказке, найти то, чего не может быть. Или как в книжках с оптическими иллюзиями. Конечно и нарисовать можно, то чего не может быть, а потом голову ломать, а как такое изобразить в реальном мире.

Ну вот сказали словами такое, но это не значит, что такое может быть.
Так ведь можно, потребовать предъявить число, больше 5, которое не больше 5 и на этом основании объявить всю математику противоречивой.

[AD]

Sasha2 в сообщении #278299 писал(а):

А мне все-таки кажется, что противоречия эти достаточно искусственные.

Ну ё-моё, ну "осовремененная" Канторова теория множеств - это язык предикатов, то бишь первого порядка, в ней формально выводится парадокс Рассела. Классификацию выводов в логике предикатов на "искусственные" и "естественные" встречаю впервые.

[ewert]

под "искусственностью", видимо, подразумевалось вот что. Все обычные математики (в смысле -- не зацикленные на основаниях математики) вполне уютно чувствуют себя и в рамках "канторовой теории". На возникающие же в ней парадоксы -- и на попытки их преодолеть -- они смотрят не более чем с любопытством.

[Lyosha]

Мне придётся сделать некоторые уточнения.Под теорией множеств я имел ввиду "наивную" ТМ.А под парадоксами я понимал именно противоречия,а не неожиданные,несогласующиеся с интуицией результаты.

[Дима Тишков]

Из известных есть еще парадокс Бурали-Форти.