Доказать равномерную непрерывность функции

[alexey007]

Вообщем забыл матан первого курса, учебников нет. Помогите доказать равномерную непрерывность функции $f(x)=x*sin(x)$ на отрезке от нуля до бесконечности.

[Sasha2]

Что то сомнительно, что это выполняется.

[meduza]

Sasha2 в сообщении #278085 писал(а):

Что то сомнительно, что это выполняется.

И правильно, потому что это не выполняется.

[djuuj]

а теорема Кантора: непрерывность на [a, b] => равномерная непрерывность на [a, b]? или я что-то путаю?

[JollyRoger]

Так ведь тут не отрезок

[tori]

djuuj в сообщении #278103 писал(а):

а теорема Кантора: непрерывность на [a, b] => равномерная непрерывность на [a, b]? или я что-то путаю?

Точнее формулировка т-мы Кантора: Если ф-я непрерывная на компакте К, то она равномерно непрерывная на К. Компакт - это замкнутое ограниченное множество, коим интервал от нуля до бесконечности не является. Так что так рассуждать нельзя.
А вообще ф-я не являеться равномерно непрерывной на данном отрезке. Расмотрите 2 последовательности $x_n = \pi*n $ и $y_n = \pi*n+\frac1n$ Модуль их разницы стремиться к нулю, а модуль разницы вашей ф-ии в этих последовательностях - нет. По критерию про равномерную непрерывность ф-я на данном множестве не является равномерно непрерывной.

[djuuj]

JollyRoger в сообщении #278107 писал(а):

Так ведь тут не отрезок

Но функция то непрерывна на [0, a] для сколь угодно большого положительного a? А значит и раномерно непрерывна на [0, a] для сколь угодно большого положительного a. А не это ли означает равномерную непрерывность функции на [0, +∞) ?

[meduza]

djuuj в сообщении #278109 писал(а):

А не это ли означает равномерную непрерывность функции на [0, +∞) ?

Нет

[alexey007]

А разве, нельзя ли так доказать, что если для любого e>0 существует d=e>0, что для любых x и y $\in[0,+\infty)$ и |x-y|<=|x|+|y|<e, будет |xsin(x)-ysin(y)|<=|xsin(x)|+|ysin(y)|<=|x|+|y|<e, таким образом будет доказана равномерная непрерывность. Я может бред несу подскажите в чем ошибка.

[tori]

alexey007 в сообщении #278113 писал(а):

|x-y|<=|x|+|y|<e

По-моему, неверно в части про это, ведь вам по предположению известно, что |x-y|<e, и верно |x-y|<=|x|+|y|, но это не значит что и |x|+|y|<e.

[djuuj]

meduza в сообщении #278111 писал(а):

djuuj в сообщении #278109 писал(а):

А не это ли означает равномерную непрерывность функции на [0, +∞) ?

Нет

∀ x1, x2 Є [0, +∞) ∃ a>0 : x1, x2 Є [0, a] ⇒ ∀ ε >0 ∃ δ(ε)>0 |f(x1)-f(x2)|<ε
⇒ f равномерно-непрерывна на [0, +∞)

[JollyRoger]

djuuj в сообщении #278120 писал(а):

meduza в сообщении #278111 писал(а):

djuuj в сообщении #278109 писал(а):

А не это ли означает равномерную непрерывность функции на [0, +∞) ?

Нет

∀ x1, x2 Є [0, +∞) ∃ a>0 : x1, x2 Є [0, a] ⇒ ∀ ε >0 ∃ δ(ε)>0 |f(x1)-f(x2)|<ε
⇒ f равномерно-непрерывна на [0, +∞)

Приведите $ \delta $ для $ \varepsilon = 0.01 $ такой, чтобы из $ |x - x_0| < \delta $ следовало $ |x \sin x - x_0 \sin x_0 | < 0.01 $

[meduza]

djuuj
У вас $\delta$ зависит ещё от какого-то $a$, а должна только от $\varepsilon$. Если следовать вашей логике, то любая непрерывная функция на интервале будет равномерно непрерывной на нем.

Для доказательство того, что $x\sin x$ не является равномерно непрерывной на $[0,\infty)$ достаточно взять точки $x'_n=\pi n,\ x''_n=\pi n + \frac 1 n$ и посмотреть на пределы $\lim\limits_{n\to\infty}|x'_n-x''_n|$ и $\lim\limits_{n\to\infty}|f(x'_n)-f(x''_n)|$.

[djuuj]

а, понял ошибку: для разных отрезков разные δ