Доказательство теоремы

[Sasha2]

Столкнулся с небольшой трудностью
Вот есть такая теорема
Теорема: Если у выпуклого четырехкгольника суммы противоположных сторон равны, то у этого четырехугольника есть вписанная окружность, заключенная внутри него.

Начинаем доказывать. Проводим окружность, касающуюся трех его сторон AB, BC и CD и лежащую с той же стороны от каждойй из них, что и внутренняя область четырехугольника. Затем автор проводит из точки A касательную к этой окружности, отличную от AB и утверждает, что она пересечет сторону CD в некоторой точке D'. Вот тут и непонятно, а почему она обязана пересечь эту сторону.

[nckg]

Да, странное Вам доказательство попалось...
Причём любопытно, что доказать то, что построенная касательная из т. A пересечёт CD, можно лишь используя тот факт, что суммы противоположних сторон ABCD равны (иначе можно контрпример нарисовать, когда такая касательная параллельна CD).
Если цель - доказать теорему, то лучше использовать более стандартное доказательство. (или что-то в таком духе)

[Sasha2]

Да нет, спасибо, я уже разобрался.
Эту теорему лучше всего доказывать только в прямую, но просто, а так, чтоы сразу обратную можно было формулировать.

Звучит это примерно так:
Если окружность касается сторон AB, BC и CD выпуклого сетырехугольника ABCD с той стороны, с которой от каждой из них лежит внутрення область этого четырехугольника, то тогда
1) Окружность будет пересекать сторону AD тогда, когда AD+BC > AB+CD.
2) Окружность будет касаться стороны AD тогда, когда AD+BC = AB+CD.
3) Окружность и сторона AD не будут иметь общих точек тогда, когда AD+BC < BС+CD.

А поскольку все перечисленные случаи, как взаимного расположения прямой и окружности, так и значений чисел AD+BC и AB+CD (в некотором смысле тоже их взаимного) расположения однозначно соотнесены друг с другом, то нужды в доказательстве обратных терем нет. Можно смело каждоый пункт 1), 2) и 3) дополнить словами "И ОБРАТНО".