Теорема о счетномерных банаховых пространствах

[fish-ka]

Не знаете ли вы теоремы, которая говорит о том, что счетномерное банахово пространство может быть разложимо в счетное объединение конечномерных пространств (внимание, само пространство счетномерное, а не счетное, то есть имеется в виду, что базис счетный)?

[AD]

Я вот вообще знаю теорему, что счетномерных [в алгебраическом смысле] банаховых пространств не бывает.

-- Ср янв 06, 2010 15:41:12 --

А еще есть теорема Бэра. А конечномерные подпространства заведомо нигде не плотны. Значит, счётным их объединением банахово пространство ну никак не получится.

[fish-ka]

Я решаю задачку, и в указаниях к ее решению написано: представьте счетномерное бп как объединение счетного числа конечномерных. Так что видимо все законно. Просто хотелось бы знать на каком основании это происходит.

[ewert]

Неплохо бы уточнить, что понимается под объединением линейных пространств (это для начала). Скажем, объёдинение двух прямых на плоскости -- это не только не плоскость, и даже не прямая, но и вообще не линейное пр-во.

[AD]

fish-ka в сообщении #277966 писал(а):

Я решаю задачку, и в указаниях к ее решению написано: представьте счетномерное бп как объединение счетного числа конечномерных.

Можете точную цитату привести - и задачи, и указания? Скажем, скан из книжки?

[fish-ka]

Скана нету(
Цитирую:
Задача. Доказать, что бесконечномерное банахово пространство не может иметь счетную алгебраическую размерность.
Указание. Представьте счетномерное банахово пространство как объединение счетного числа конечномерных пространств. Проверьте, что конечномерное подпространство бесконечномерного пространства нигде не плотно. Используйте теорему 2.
Теорема 2:Отделимое n-мерное линейное топологическое пространство Х изоморфно R^n.

Мое доказательство. бп, не имеющее счетную алгебраическую размерность, это либо конечномерное (что исключается), либо пространство, имеющее несчетный базис.
Итак, докажем, что бп имеет несчетный базис.
От противного: пусть бп имеет счетный базис, то есть счетномерно. Теперь хочу представить его в виде объединения счетного числа конечномерных пространств, что повлечет противоречие по теореме Бэра.

[AD]

ЛОЛ. То есть в задаче предлагается доказать именно то, что я тут и написал, а подсказка дана в абсурдном предположении, сделанном при доказательстве от противного.

[fish-ka]

Цитата:

Я вот вообще знаю теорему, что счетномерных [в алгебраическом смысле] банаховых пространств не бывает.

А что это за теорема?

[AD]

Мне кажется, проще надо быть. Пусть $\{e_n\}_{n=1}^\infty$ - счётный базис, тогда последовательность $x_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{e_k}{2^k\|e_k\|}$ фундаментальна, но не сходится.

-- Ср янв 06, 2010 16:17:52 --

fish-ka в сообщении #277977 писал(а):

А что это за теорема?

Та самая, которую Вы, как выяснилось, сейчас доказываете. Дошло теперь?

[fish-ka]

Я не о том. Раз вы говорите, что знаете ее, то знаете и источник (то есть книгу), где она изложена (возможно с доказательством).

Впрочем, ваше доказательство мне нравится больше. Спасибо.

[AD]

А, ну да, можно и не быть проще. Берём $n$-е подпространство $E_n=\mathrm{span}\langle e_1,\ldots,e_n\rangle$

-- Ср янв 06, 2010 16:25:55 --

fish-ka в сообщении #277983 писал(а):

Впрочем, ваше доказательство мне нравится больше.

А мне чего-то разонравилось. Надо бы еще научиться расходимость доказывать

[AlexDem]

AD в сообщении #277957 писал(а):

Я вот вообще знаю теорему, что счетномерных [в алгебраическом смысле] банаховых пространств не бывает.

А как называется теорема или где найти - не подскажете?

[AD]

AlexDem в сообщении #278358 писал(а):

А как называется теорема или где найти - не подскажете?

Например, в этой теме ...

AD в сообщении #277978 писал(а):

fish-ka в сообщении #277977 писал(а):

А что это за теорема?

Та самая, которую Вы, как выяснилось, сейчас доказываете. Дошло теперь?

[AlexDem]

Хотелось бы почитать так же что-нибудь в контексте, возможно просьба fish-ka была сформулирована лучше :

fish-ka в сообщении #277983 писал(а):

Я не о том. Раз вы говорите, что знаете ее, то знаете и источник (то есть книгу), где она изложена (возможно с доказательством).

[ewert]

fish-ka в сообщении #277974 писал(а):

Указание. Представьте счетномерное банахово пространство как объединение счетного числа конечномерных пространств.

Это невозможно. Объединение линейных пространств не есть линейное пространство.

(при формулировании задачи желательно следить за тем, чтоб эта формулировка имела хоть сколько-то точный смысл)