Потоки на сфере

[bayak]

Меня интересует теория, которая позволяет эффективно вычислять потоки на сфере произвольной размерности. Общие вопросы (потоки на компактных многообразиях) мне тоже интересны, но в меньшей степени. Для любителей проверять уровень собеседника сразу скажу, что мой уровень в этом вопросе почти нулевой - знаю только, что есть книги Уитни, Фредерикса, и посвящённые этому вопросу работы Соболева и его последователей - Кузьминова, Шведова.

[terminator-II]

(Оффтоп)

Твой уровень, Игорек, нулевой не только в этом он вообще нулевой. Как и у любого альта.
сама фраза

bayak в сообщении #277350 писал(а):

вычислять потоки на сфере

уже бессмысленна.
А читать тебе Игорек надо учебники, а не Уитни. А еще лучше поступить на математический факультет и получить образование.

[PAV]

terminator-II,
строгое предупреждение за грубость, переход на личности, разжигание флейма и неуместную фамильярность. Ну и оффтопик.

[bayak]

Попробую конкретизировать вопрос. Я знаю, что потоки это функционалы, которые можно задать на $n$-мерном многообразии, например, с помощью интеграла от внешнего произведения одной $m$-формы на другую $(n-m)$-форму. Если в этом интеграле фиксировать одну дифференциальную форму двухкомпонентного внешнего произведения, то мы получим функционал, зависящий от второй дифференциальной формы. Пусть на сфере существуют тривиальное и простейшее векторное поле. Тогда аннулирующую его $(n-1)$-форму будем исползовать в качестве фиксированной дифференциальной формы фунционала потока. Спрашивается как явно построить такой функционал и как найти его критические точки?

[Gafield]

bayak в сообщении #277878 писал(а):

Пусть на сфере существуют тривиальное и простейшее векторное поле.

Существует, конечно. А именно, нулевое

bayak в сообщении #277878 писал(а):

Спрашивается как явно построить такой функционал и как найти его критические точки?

Очень просто. Если $u$ - фиксированное поле, то действие на другое поле $v$ например, можно взять равным $\int_S(u,v)\,ds$. Если непрерывное поле $u\not\equiv0$, то стационарных точек у *линейного* функционала нет. А если $u$ простейшее, то стационарные точки у него таки найдутся

[bayak]

Gafield
Я понимаю, что с четномерными сферами есть проблемы, поэтому и оговорился о существовании тривиального линейного векторного поля. Что касается Вашего функционала (со скалярным произведением линейного векторного поля и произвольного), то явного построения тут не видно, поскольку требуется явное задание не только линейного поля, но и произвольного векторного поля сферы. С критическими точками так же не получается - пока одни общие слова.