Биномиальные коэффициенты являющиеся степенями

[Руст]

Решить уравнение в натуральных числах:
$C_x^y=z^l.$

[Brukvalub]

При $l=1$ см. тр-к Паскаля, а при $l>1$ для каждого натурального $z$ имеются только два тривиальных решения : $x=z^l.$ , $y=1$ или $y=x-1$

[Woland]

Brukvalub писал(а):

При $l=1$ см. тр-к Паскаля, а при $l>1$ для каждого натурального $z$ имеются только два тривиальных решения : $x=z^l.$ , $y=1$ или $y=x-1$

Почему Вы уверенны, что кроме указанных Вами решений не каких нет?

[MMyaf]

Существуют и нетривиальные решение.Вот решение, которое не входит в тривиальные
$C_9^2 = 6^ 2$

[Руст]

Назовём тривиальными решениями
1. $x=y,z=1, l$ -любое.
2. $y=1$ или $y=x-1$, $x=z^l$, $l$ -любое.
3. $l=1$ $z=C_x^y$, $1\leq y\leq x$.
Так как биномиальные коэффициенты симметричны, то достаточно найти только $y\le x/2$.
Тогда имеются нетривиальные решения при $y=2$ и возможно при $y=3$, и надо доказать отсутствие других.

[Sonic86]

К более-менее тривиальным решениям можно отнести случай $y=2, l=2$, который сводится к уравнению Пелля $u^2-2v^2=1$. Пример MMyaf получается для $u=9$.

[Nilenbert]

В книжке Доказательства из Книги доказывается, что при $l\ge 2$ и $4\le k \le n-4$ уравнение $\binom{n}{k}=m^l$ не имеет решений в целых числах. Единственное решение с $k=3, l=2$ имеет вид:

$$ \binom{50}{3}=140^2 $$