По определению 2.

[Yarkin]

По определению модуля: 1) комплексного числа $|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}$; 2) действительного числа $|a|=a$, если $a>0$, $0$ если $a=0$ и $-a$, если $a<0$. Применяем на практике:

$$|3+i\sqrt{16}|=5, \eqno (1)$$


$$|3-i\sqrt{16}|=5, \eqno (2)$$


$$|3+\sqrt{16}|=7, \eqno (3)$$


$$|3-\sqrt{16}|=1, \eqno (4)$$

Структура чисел, стоящих в левой части одинакова. Следовательно, их модули должны быть равны. В определении понятия модуль никто не сомневается, тогда в чем же ошибка? Неужели у мнимой единицы имеются магические свойства – увеличивать, уменьшать или не изменять модуль числа (при ее удалении или вставке)? Разумеется, нет.
В случаях (1) и (2) мы вычисляем модуль правильно, как указано в определении 1. В случаях (3) и (4) мы вычисляем модуль по определению 2, которое работает правильно, если число не составное. Ошибка заключена в неправильном представлении действительного числа. Как и комплексные числа, они должны быть двумерными, т. е. иметь аналогичную форму записи, но со своей «иррациональной» единицей. В этом случае модули будут вычисляться по одной и той же формуле 1 и в приведенных примерах они все будут равны $5$.
Принцип перманентности Ганкеля содержит 11 законов, которые должны соблюдаться при расширении понятия числа. Но среди этих законов нет закона сохранения модуля, а имеющиеся законы гарантируют его сохранение только для не составного числа.
Объявление рациональных и иррациональных чисел действительными (груши + яблоки = грушеяблоки) повлекло за собой превращение двумерного числа в одномерное, и, далее, к потере пространственного и $n$ - мерного числа.
Как известно, в физике имеются физические единицы, использование которых не должно нарушать законы физики. Аналогичные единицы есть и в математике. Одна из них – обычная $1$ - самая сложная из всех единиц, ибо все другие определяются через нее. Нарушения, которые математики допускают, при обращении с ней подлежат исследованию. Появление делителей нуля, при попытках введения новых единиц, как раз и связано с этими нарушениями. Другая, которой мы пользуемся – это мнимая единица $i$. Но там, где есть две, должна быть и третья и т. д. Все эти единицы должны иметь общие свойства, которые не должны нарушаться при их совместном использовании.
Вышеизложенным я и ограничусь, ибо я не могу перечислить все области математики, где эта ошибка привела к неправильным результатам, которые были узаконены «теорией».
Обращаясь к участникам и модераторам Форума, прошу отнестись к вышеизложенному объективно, ибо исправление этой ошибки сразу прекратит рассуждение о ВТФ и о бесчисленном множестве целочисленных решений уравнения $x^2+y^2=z^2$. Сейчас же говорить о том, что это уравнение не имеет отличных от нуля целочисленных решений кажется диким (см., например мнение участников форума в подфоруме ВТФ или в моих темах), но это станет очевидным после исправления ошибки. Диким может показаться и соотношение $1^2 \ne 1$. Числа $10, \sqrt{100}, \sqrt[3]{1000}, 10i,…$ равны по модулю, но не равны по качеству – по этой причине их нельзя приравнивать и т. д.
Я совершенно не исключаю отрицательную реакцию участников Форума и такой же печальной участи этой темы, как и предыдущих. Тогда нас рассудит время. Яркин.

[AlexDem]

А вот есть такая Теорема Фробениуса. Она не сводит ли все такие построения к существующим телам? Там следствия интересны:

Цитата:

- Поля $R$ и $C$ являются единственными конечномерными вещественными ассоциативными и коммутативными алгебрами без делителей нуля.
- Тело кватернионов $H$ является единственной конечномерной вещественной ассоциативной, но некоммутативной алгеброй без делителей нуля.
- Алгебра Кэли является единственной конечномерной вещественной альтернативной неассоциативной алгеброй без делителей нуля.

Может кто подскажет, где можно посмотреть подробное доказательство (желательно, записанное попроще ). И что значит в Википедии фраза "при некоторых естественных предположениях"?

[meduza]

Yarkin в сообщении #277611 писал(а):

Структура чисел, стоящих в левой части одинакова.

Нет. У чисел (3) и (4) нет мнимых частей.

Yarkin в сообщении #277611 писал(а):

В случаях (3) и (4) мы вычисляем модуль по определению 2

Если бы вы посчитали этот модуль по определению 1, то получили бы то же самое ($\sqrt{(3+\sqrt{16})^2+0}=7$). Ваше "определение 2" -- это частный случай "определения 1", когда у числа нет мнимолй части.

Если вам так будет легче, то представляйте модуль как расстояние между точками на комплексной плоскости, тогда все станет ясно (расстояние между $3$ и $\sqrt{16}$ равно 1. Расстояние между $3$ и $i\sqrt{16}$ равно 5).

(Оффтоп)

И хватит изобретать новую математику, со старой разберитесь. Вы написали столько много букв, а смысла в них нет абсолютно никакого. И после этого вы еще удивляетесь в отрицательной реакции вменяемых участников?

[migmit]

Yarkin в сообщении #277611 писал(а):

Неужели у мнимой единицы имеются магические свойства – увеличивать, уменьшать или не изменять модуль числа (при ее удалении или вставке)?

Вы будете смеяться, но это "магическое" свойство есть вообще у всех чисел, кроме единицы.

[Jnrty]

Jnrty:

Очередная бессмысленная тема Yarkinа. Закрываю.