дробно линейные отображения

[aVague]

как доказать что ДЛО переводит прямую в прямую и окружность в окружность?

и во что переводиться прямая $Re z=1$ отображением $\frac {z}{z+1}$ вроде как в окружность,как это показать/сделать?
дло - это дробно -линейное отбражение имеет вид $\frac{az-b}{cz-d}$

[ewert]

aVague в сообщении #277540 писал(а):

как доказать что ДЛО переводит прямую в прямую и окружность в окружность?

ну, между прочим -- это неправда. Оно переводит прямую ИЛИ окружность -- в прямую ИЛИ окружность. И не более того.

[aVague]

ну а как это показать, что делать, чтобы увидеть,что оно переводит окружность или прямую в прямую или окружность .
можно домножить и разделить на сопряженную величину и свести к некоему виду, а дальше что делать?

[jetyb]

Дробно-линейное отображение может быть представлено в виде комбинаций сдвига, растяжения, поворота и инверсии(т.е. отображения $z\to\frac{1}{z}$). С тремя первыми отображениями все ясно. Разберемся с последним.
Пусть окружность(или в частном случае прямая) задается уравнением:
$A(x^2+y^2)+Bx+Cy+D=0$
В комлексной плоскости после замены
$z=x+iy=\frac{1}{\xi}=\frac{1}{\alpha+i\beta}=\frac{\alpha}{\alpha^2+\beta^2}-\frac{i\beta}{\alpha^2+\beta^2}$
соотношения для $\alpha$ и $\beta$ будут:
$A+B\alpha-C\beta+D(\alpha^2+\beta^2)=0$
Они задают окружность(ну и прямую, которая есть по сути окружность бесконечного радиуса).

Найти образ окружности просто: ведь окружность определяется координатами трех ее точек. Надо найти образ трех подходящих точек; окружность, проходящая через них, будет искомой.

[AKM]

jetyb в сообщении #277552 писал(а):

Дробно-линейное отображение может быть представлено в виде комбинаций сдвига, растяжения, поворота и инверсии(т.е. отображения $z\to\frac{1}{z}$).

Наверное, инверсии и зеркального отражения. Причём последние две компоненты либо вместе присутствуют ($c\not=0$), либо вместе отсутствуют ($c=0$). Возможно, инверсией Вы назвали их комбинацию.

[jetyb]

Наверно, можно как-нибудь и с зеркальными отражениями отображения взять(все равно все одно). У меня отображения такие:
$\frac{az+b}{cz+d}=f_1(f_2(f_3(f_4(z)))))$, где
$f_1(z)=z+\frac{a}{c}$
$f_2(z)=-\frac{ad-bc}{c^2}z$
$f_3=\frac{1}{z}$
$f_4=z+\frac{d}{c}$.

[AKM]

Просто традиционно (канонически) инверсия есть $(x_1,y_1)\to(x_2,y_2)$, где

$$ \begin{array}{l} x_2 = a+\dfrac{R^2(x_1{-}a)}{(x_1{-}a)^2+(y_1{-}b)^2},\\[8pt] y_2 = b+\dfrac{R^2(y_1{-}b)}{(x_1{-}a)^2+(y_1{-}b)^2}, \end{array} \qquad \mbox{в комплексной форме~~~}z_2 = z_0 + \dfrac{R^2}{\bar{z}_1{-}\bar{z}_0} $$

($z_0= a{+}\mathrm{i} b$ --- центр инверсии). + Зеркальная симметрия избавляет от неприятностей комплексного сопряжения.