Уравнение линии

[Dobrinya]

Составить ур-е линии, каждая точка M которой отстоит от прямой х=-6 на расстоянии, в 2 раза большем, чем от точки А(1,3).
Я привел к виду:
$4*[(x-1)^2+(y-3)^2]=(x+6)^2$,
где в левой части квадрат удвоенного расстояния от точки M до A(1,3), а справа - квадрат расстояния от M до прямой x=-6.
После раскрытия скобок получается ур-е, которое содержит две неизвестные:
$3x^2+4y^2-20x-24y+4=0$
Подскажите пожалуйста, как его решить. Или я может где-то ошибся?

[meduza]

Dobrinya в сообщении #277462 писал(а):

Подскажите пожалуйста, как его решить.

Его решать не надо, это и есть уравнение линии. Но в таком виде оно не очень наглядно, поэтому лучше его привести к каноническому виду (как видно непосредственно из задания -- это эллипс (с экцентриситетом $\frac 1 2$)).

Dobrinya в сообщении #277462 писал(а):

Или я может где-то ошибся?

Нет, все верно.

[Dobrinya]

Спасибо. А как его привести к каноническому виду?

[ewert]

Выделением полных квадратов по каждой из переменных, и потом делением на число в правой части, и т.д.

[Dobrinya]

А можно сделать как-нибудь проще?

[meduza]

Можно попроще. Из рисунка сразу видно, что эллипс надо опустить вниз на $3$ и (вспомнив несколько формулок для эллипса), что еще надо на $\frac {10} 3$ сместить его влево. Т. е. $y'=y-3,\ x'=x-\frac {10} 3$.

Вообще, приведение уравнений кривых 2-го порядка к каноническому виду есть в любом учебнике по аналитической геометрии. Советую почитать.
И еще, если в задании не требуется приведение к канон. виду, то зачем мучаться?

[Dobrinya]

Т.е. можно оставить в виде $4y^2-24y=-3x^2+20x-4$?

[meduza]

Ну оставьте.

(Оффтоп)

Только зачем вы разделили иксы и игрики непонятно. Если уж оставлять в общем виде, то лучше $=0$ вконце.

[PAV]

Но вообще-то я бы на месте принимающего преподавателя уточнил бы, что это за линия, и мог бы попросить привести к каноническому виду (или спросить про центр, полуоси и угол наклона) в качестве доп. вопроса.

[ewert]

Dobrinya в сообщении #277490 писал(а):

Т.е. можно оставить в виде $4y^2-24y=-3x^2+20x-4$?

Можно. Если от Вас не требуют приведения к каноническому виду -- то можно. Если же требуют -- то выделяйте. В конце концов, этот приём в школе проходят.

[Dobrinya]

Цитата:

Но вообще-то я бы на месте принимающего преподавателя уточнил бы, что это за линия, и мог бы попросить привести к каноническому виду (или спросить про центр, полуоси и угол наклона) в качестве доп. вопроса.

Хорошо, я почитаю про каноническую форму записи уравнения и попытаюсь сделать. Всем спасибо!