Помогите разобраться с деталями доказательства.

[Норберт]

В учебнике Колмогорова по функану есть следующая теорема
В сепарабельном нормированном пространстве $E$ из всякой ограниченной (в сильной топологии) последовательности функционалов можно выделить *-слабо сходящуюся подпоследовательность.
Идея доказательства состоит в построении семейства подпоследовательностей
$\{ \{\phi_{n}^{(m)}\}_{n=1}^{\infty} \}_{m=1}^{\infty}$ такого что
1. $\forall m \in \mathbb{N} \quad \{\phi_{n}^{(m+1)}\}_{n=1}^{\infty} \subset \{\phi_{n}^{(m)}\}_{n=1}^{\infty}$
2. $\forall k \geqslant l \quad \exists \lim\limits_{n \to \infty} \phi_{n}^{(k)}(x_l) = \lim\limits_{n \to \infty} \phi_{n}^{(l)}(x_l)$
где $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ - счетное всюду плотное множетсво в $E$.
Далее в доказательстве утверждается что эти два условия дают
$\forall k \in \mathbb{N} \quad \exists \lim\limits_{n \to \infty}{\phi_{n}^{(n)}(x_k)}$.

Я никак не могу понять как происходит этот переход, хотя может это и ошибка (такое случается в этом учебнике). Пожалуйста помогите восстановить пробел в доказательстве.

[ewert]

Это -- стандартная диагональная процедура.
Из п.1 следует, что последовательность $\{\varphi_n^{(n)}\}$ для каждого фиксированного $k$ является подпоследовательностью последовательности $\{\varphi_n^{(k)}\}$, начиная с некоторого номера. И поскольку последняя сходится на элементе $x_k$ -- это же относится и к $\{\varphi_n^{(n)}\}$.

(Там действительно некоторая путаница со значками, но она безобидна. В этом месте п.2 вообще избыточен: достаточно того, что по построению $\forall k \quad \exists \lim\limits_{n \to \infty} \phi_{n}^{(k)}(x_k)$.)

[Норберт]

Да а все было так просто...