задачи по диффурам

[g-a-m-m-a]

Как исследовать на устойчивость положение равновесия $(0,\,0)$ системы
$\dot x=x^3+y,$
$\dot y=(x^2+y^2-2)y.$
С помощью теоремы об устойчивости ничего не получается, также никак не получается подобрать функцию Ляпунова

[g-a-m-m-a]

И еще вот такая задачка: сформулировать условия на $f(x,\,y),$ при которых система
$\dot x=-y+f(x,\,y)$
$\dot y=\sin(x)$
является устойчивой.

[GAA]

К первой задаче.
Напомню себе определение тривиального решения, устойчивого по Ляпунову:
Тривиальное решение устойчиво по Ляпунову (нулевое положение равновесия устойчиво по Ляпунову), если для любого $\varepsilon > 0$ можно подобрать $\delta(\varepsilon) > 0$, такое, что для всякого решения системы, начальные значения которого удовлетворяют неравенствам $|x(t_0)| < \delta(\varepsilon)$, $|y(t_0)| < \delta(\varepsilon)$, для всех $t \ge t_0$ справедливы неравенства

$|x(t)| < \varepsilon$, $|y(t)| < \varepsilon$.

Я бы попробовал доказать, что тривиальное решение (нулевое положение равновесия) первой системы не является устойчивым. Для этого рассмотрел бы решения, удовлетворяющие начальному условию $x(t_0)=x_0 \ne 0$, $y(t_0)=0$, и убедился, что для любого $|x_0| < \delta$ модуль решений неограниченно возрастает, т.е. не выполняется неравенство $|x(t)| < \varepsilon$.

______________________________________________
В первоночальной редакции в предыдущим предложении в выражении $|x_0|<\delta$ был пропущен знак модуля.

[g-a-m-m-a]

GAA, спасибо))
еще такая задачка интересует: исследовать на устойчивость нулевое положение равновесия у системы
$\dot x=2yz,$
$\dot y=-xz,$
$\dot z=xy.$

[GAA]

Записав систему в «симметричной форме» $\frac{dx}{2yz}=\frac{dy}{-xz}=\frac{dz}{xy}$, легко находим два первых интеграла, и строим функцию Ляпунова в виде линейной комбинации этих интегралов. По теореме Ляпунова нулевое положение равновесия будет устойчивым.

Вы «не проявили готовности к самостоятельной работе, опубликовали только вопрос». В соответствии с правилами форума «Помогите решить / разобраться (M)» от дальнейшей помощи Вам я воздержусь.