Найти сумму цифр числа

[meduza]

Diter в сообщении #277042 писал(а):

Какую наибольшую сумму цифр может иметь n -значное число(n>1)

Разумеется эту сумму будет иметь число, состоящее из одних девяток, т.е. $9n$.

Прочтя первое и последнее сообщения Diter я кажись понял, какую задачу он имел ввиду: какую наибольшую сумму цифр может иметь $n$-значное число ($n>1$), делящееся на $11$.

[Diter]

Ну чтото этого я и предполагал)

-- Сб янв 02, 2010 17:22:14 --

Конечно, при n -четном сумма цифр будет равна 9n , а при нечетном 9(n-1).Это можно вычислить логическим путем.А как это можно доказать?

[meduza]

Diter в сообщении #277046 писал(а):

а при нечетном 9(n-1)

Не верно. Контрпримеры: 979, 97999.

А при чётном $n$ и доказывать-то нечего: число, состоящее из чётного числа девяток делится на 11, т. к. сумма цифр на чётных местах равна сумме цифр на нечётных.

[Diter]

Ну получается,что при четном n - это признак делимости на 11(сумма цифр равна 9n) , а как доказать при n нечетном?

[Батороев]

Для нечетных $n$, по-видимому, можно применить такие рассуждения:
Нименьшее $n+1$-значное число, кратное $11$, - это единица с $n$ нулями плюс $1$, следовательно, предыдущее число ($n$- значное) меньше на 11, т.е. число с $n-1$ девятками и $0$ на конце.

[Diter]

Благодарен за помощь

[meduza]

Батороев в сообщении #277064 писал(а):

Для нечетных $n$, по-видимому, можно применить такие рассуждения:
Нименьшее $n+1$-значное число, кратное $11$, - это единица с $n$ нулями плюс $1$, следовательно, предыдущее число ($n$- значное) меньше на 11, т.е. число с $n-1$ девятками и $0$ на конце.

Вы наверное невнимательно прочитали задачу -- нужно найти наибольшую сумму цифр, которое имеет $n$-значное число, делящееся на $11$, а не само число.

(Оффтоп)

Я уже приводил контрпример 979 -- оно делится на 11, но сумма цифр больше, чем у 990.

[Батороев]

meduza
Каюсь, не заметил.

-- Вс янв 03, 2010 15:16:19 --

По-видимому, здесь "включается" то, что самая левая девятка числа при $n$ - нечетном при подсчете делимости на $11$ берется с плюсом. Следовательно, предыдущие пары должны давать добавку $+2$, например:
При $979$
$9-7=+2$
$+2+9=11$.
При $98989$
$9-8+9-8=+2$
$+2+9=11$

-- Вс янв 03, 2010 15:25:27 --

Другими словами, наибольшую сумму цифр $n$-значного числа имеет число с $n$ девятками.
Если $n$ - четное, то данное число делится на $11$.
Если $n$ - нечетное, то оно должно иметь сумму цифр меньше, чем у указанного на $2$, за счет уменьшения цифр в четных разрядах.