Геометрическая прогрессия

[Kafari]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, доказать, что сумма первых членов убывающей геометрической прогрессии сходится.
Вот у меня сумма:
$S_n = b + bq + bq^2 + bq^3 + bq^4 + ... + bq^n$
Первая моя идея была доказать, что $S_n - S_{n-1} < S_{n+1} - S_n$
То есть $bq^{n+1} - bq^n < bq^{n+2} - bq^{n+1}$
Или то же: $1 - 1/q < q - 1$
что вообще-то не очевидно.
Подскажите, что дальше делать, если не трудно!

[Roman Voznyuk]

Сходимость очевидна по признаку Даламбера сходимости ряда.
Или вам нужно доказать сам признак Даламбера?

[Kafari]

Цитата:

Сходимость очевидна по признаку Даламбера сходимости ряда

Э-э... А я даже не знаю такой)) Не проходили... Я только первый курс пока...
Если не сложно, покажите, ну или я погуглю...
А доказать мне нужно просто то, что сумма первых членов сходится. То есть что сходится последовательность $S_1, S_2, ... S_n$ при $n$ --> бесконечности.

[Roman Voznyuk]

Kafari в сообщении #276753 писал(а):

Э-э... А я даже не знаю такой)) Не проходили... Я только первый курс пока...
Если не сложно, покажите, ну или я погуглю...

Хорошо, а что вы уже проходили? Критерий Коши проходили?
Если проходили то выпишите сумму для $n$-ой частичной суммы и $n+p$-ой и сразу же увидите чем ограничивется разность при $|q|<1$

Что касается признака Даламбера, на самом деле ваша последовательность это ряд, а для рядов имеются несколько хорошо известных критериев сходимости.

[Kafari]

Критерий Коши проходили, конечно! А вот ряды нет...

[garin99]

В школе должны были проходить следующую формулу $S_n=b\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$, с ней всё доказывается элементарно.

[Kafari]

Может, и проходили... Просто мне как-то не хотелось бы принимать это на веру, но откуда берется эта формула? Ее можно вывести?

[Профессор Снэйп]

Kafari в сообщении #276766 писал(а):

...откуда берется эта формула? Ее можно вывести?

$$ (q-1)(q^n + q^{n-1} + \ldots + q + 1) = (q^{n+1} + q^n + \ldots + q^2 + q) - (q^n + q^{n-1} + \ldots + q + 1) = q^{n+1} - 1 $$

[Kafari]

Спасибо большое!