Найти сумму цифр числа

[Diter]

Найдите сумму цифр числа n (n>1),делящееся на 11 .Это по индукции решать или по признаку делимости числа на 11 ?Помогите пжл

[Профессор Снэйп]

Число $\overline{a_na_{n-1}\ldots a_1a_0}$ делится на $11$ тогда и только тогда, когда $a_0-a_1 + a_2 - \ldots + (-1)^na_n$ делится на $11$. К примеру, $67842$ не делится на $11$, потому что $2-4+8-7+6 = 5$ не делится на одиннадцать. А число $141515$ делится, так как $5-1+5-1+4-1 = 11$.

А про сумму цифр, похоже, ничего сказать нельзя. Если число делится на $11$, то его сумма цифр может быть любым натуральным числом, не равным $1$.

[Gortaur]

если можно, пример числа кратного 11 с суммой цифр 3. Его характеристика (т.е. сумма цифр с переменой знака, см. пост выше) может быть только 0. Нулем же она быть не может, потому что для этого цифры должны взаимноуничтожиться - а это значит, что их сумма четна.

Итак, если сумма цифр нечетна и не кратна 11, то число не делится на 11.

[jetyb]

Gortaur в сообщении #276585 писал(а):

Итак, если сумма цифр нечетна и не кратна 11, то число не делится на 11.

319

А вообще, я не понимаю целесообразность этой темы. Неужели так сложно в поисковике набрать
"признак делимости на 11"?

[Профессор Снэйп]

Gortaur в сообщении #276585 писал(а):

если можно, пример числа кратного 11 с суммой цифр 3.

Ну ладно, согласен, что $3$ сумма цифр быть не может. Но всё равно сумма цифр числа, кратного $11$, может быть очень много чему равна.

-- Чт дек 31, 2009 07:58:54 --

(Оффтоп)

jetyb в сообщении #276589 писал(а):

Неужели так сложно в поисковике набрать
"признак делимости на 11"?

Неужели так сложно перестать уже указывать людям, что им следует делать, а что не следует? Сами-то зачем в эту тему пишете? Что-нибудь по существу вопроса имеете сказать или так, увидели удобный повод прочитать мораль другому?

[Diter]

спс за рассуждение, а признак делимости я знаю :На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на число, делящееся на 11.А дальше что? Как оформить эти факты в одно полноценное решение?

[Профессор Снэйп]

Diter в сообщении #276653 писал(а):

А дальше что? Как оформить эти факты в одно полноценное решение?

А Вы уверены, что оно здесь есть, это "решение"? Я даже не понимаю, каким должен быть ответ.

[Diter]

решение то есть ,а вот как этот признак и все остальное совместить вот в чем вопрос

[ИСН]

Есть решение? Да ну? И какой же ответ?

[Профессор Снэйп]

Diter в сообщении #276667 писал(а):

решение то есть...

Решение чего? Какой задачи? Этой, что ли?

Diter в сообщении #276535 писал(а):

Найдите сумму цифр числа n (n>1),делящееся на 11...

Если этой, то непонятно, какое "решение" имеется в виду и какова вообще постановка задачи. Ясно, что делимость числа на $11$ однозначно не определяет сумму его цифр. Бывают разные числа с разной суммой цифр, делящиеся на $11$. Сумму цифр какого из этих чисел предлагается искать?

Или нужно найти, чему равно множество

$$ S = \{ a_n + a_{n-1} + \ldots + a_1 + a_0 : \text{число } \overline{a_na_{n-1}\ldots a_1a_0} \text{ делится на }11 \}? $$

Если да, то сообщите хотя бы, в чём заключается "решение", которое у Вас есть Из написанного выше пока можно лишь сказать, что $1 \not\in S$ и $3 \not\in S$. Была ещё высказана гипотеза о том, что каждый элемент $S$ либо чётен, либо делится на $11$; однако пример с числом $319$ показывает, что эта гипотеза не верна ($319 = 11 \cdot 29 \Rightarrow 3 + 1 + 9 = 13 \in S$).

Кстати, легко показать, что любое чётное число принадлежит $S$, то есть что $2\mathbb{N} \subseteq S$. Какие из нечётных чисел принадлежат $S$, пока неясно.

[RIP]

Профессор Снэйп в сообщении #276678 писал(а):

Какие из нечётных чисел принадлежат $S$, пока неясно.

Чего ж тут неясного? Все, начиная с 11.

[Батороев]

(Оффтоп)

Еще один признак делимости на $11$:
Если число разделить на четное число разрядов, то сумма полученных чисел должна быть кратна $11$.
Для числа $319$:
$3+19=22\equiv 0\pmod {11}$.
Для числа $125312$:
$12+53+12=77\equiv 0\pmod {11}$
или
$12+5312=5324\equiv 0 \pmod {11}$

[Профессор Снэйп]

RIP в сообщении #276700 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #276678 писал(а):

Какие из нечётных чисел принадлежат $S$, пока неясно.

Чего ж тут неясного? Все, начиная с 11.

Имелось в виду, неясно из обсуждения

Так-то конечно ясно! Просто топикстартер начал делать выводы о наличие решения непонятно с чего. Моё замечание касалось исключительно этого факта. Делимость на $11$ чисел $\underbrace{11\ldots1}_{2n}$ очевидна (этого тоже не было в треде, каюсь ), насчёт остального просто не подумал.

[Gortaur]

Про четные числа все ясно, про нечетные же - если $k=a_1+...+a_l \in S$, то если $k$ нечетно, но число делится на 11, значит сумма цифр с переменным знаком представима в виде $11m+n-n$, то есть $k=11m+2n$

[Diter]

А если так :Какую наибольшую сумму цифр может иметь n -значное число(n>1)