Черная пятница

[бобыль]

В известном задачнике для ФМШ при МГУ, переизданном в 2005 г., в разделе "Шутки и ошибки" есть задача

12.8. Черная пятница. Докажите, что тринадцатое число месяца с большей вероятностью приходится на пятницу, чем на другие дни недели. Предполагается, что мы живем по Григорианскому стилю.

В ответе же написано только: Воспользуйтесь тем, что число дней в 400-летнем цикле делится на 7.

Я родился 13-го в пятницу и "шутку" не понял, а поэтому взял действующий календарь и попросту подсчитал, что число 13 за 1583-2000 гг. приходилось на

пн 717 раз,
вт 714 раз,
ср 719 раз,
чт 715 раз,
пт 719 раз,
сб 714 раз,
вс 718 раз.

Ну и где здесь "с большей вероятностью"?

[Руст]

И на самом деле 13 число приходится на пятницу чуть чаще, а именно за 400 лет из 4800 месяцев на пятницу приходится 688, т.е. частота $\frac{43}{300}=\frac{1}{7}+\frac{1}{2100}.$

[бобыль]

Да почему это? Ведь 13-е, я подсчитал экспериментально, приходится на среду так же часто, как и на пятницу.

[Руст]

за 400 лет всего 400*12=4800 13ых чисел. При этом за этот цикл количество дней делится на 7. Поэтому, частота, равна вычисленной за 400 лет. Число 4800 не делится на 7. Поэтому на некоторые дни недели число 13 будет попадать чуть чаще. Для данного числа 13 день недели, который встречается чаще это пятница.

[незваный гость]

бобыль писал(а):

что число 13 за 1583-2000 гг
…
Ну и где здесь "с большей вероятностью"?
…
число дней в 400-летнем цикле делится на 7.

Ваша ошибка в том, что Вы взяли не 400-летний промежуток, а произвольный (400 с кусочком). В пределах кусочка возможна некоторая вариация, для любого 400-летнего ее не будет. Поэтому для больших промежетков времени — например, пара-тройка милионов лет, "черная пятница" победит…

[бобыль]

незваный гость писал(а):

Ваша ошибка в том, что Вы взяли не 400-летний промежуток, а произвольный (400 с кусочком). В пределах кусочка возможна некоторая вариация, для любого 400-летнего ее не будет. Поэтому для больших промежетков времени — например, пара-тройка милионов лет, "черная пятница" победит…

"Черная пятница" - это вообще-то историческое понятие, и промежуток я взял не произвольный, а с момента введения (в 1582 году) Григорианского календаря (правда, по 2000 год), поэтому пара-тройка миллионов лет здесь вроде бы не очень при чем.

[незваный гость]

Тогда возьмите для подсчетов 1582-1981, и все получится... "Миллионы" нужны, чтобы небольшое преимущество черной пятницы в пределах 400 лет накопилось, и превысило вариацию черных пятниц в пределах произвольного промежутка времени.

[бобыль]

незваный гость писал(а):

Тогда возьмите для подсчетов 1582-1981, и все получится..."Миллионы" нужны, чтобы небольшое преимущество черной пятницы в пределах 400 лет накопилось, и превысило вариацию черных пятниц в пределах произвольного промежутка времени.

Маленькая поправочка: Григорианский календарь ввели в конце 1582 г., поэтому я начал с 1583-го.

Можете не отвечать, но мне все равно непонятно. То, на какие дни недели придется число 13, зависит исключительно от того, в какой день недели год начался - отдельно для обычных лет и високосных. Отсюда такой вопрос:

В какой день недели чаще всего начинается год?