модуль оператора

[Sla_sh]

Здравствуйте.

Подскажите пожалуйста как обычно вводится понятие модуля оператора. А-то вот разбираю статью. Наткнулся на такое обозначение. Автор относит его к известным фактам, а в литературе нигде я его обнаружить не могу.

Заранее благодарю.

[ewert]

А в каком контексте?

А то это выглядит как какой-то жаргон. Возможные интерпретации (приходящие в голову): норма оператора, или его спектральный радиус, или действительно операторный модуль, но это - для нормальных операторов (обычно для самосопряжённых)...

[Sla_sh]

Мде, и правда, контекст стоило указать.

В контексте квантовой механики)

[ewert]

Тогда, вполне возможно -- действительно модуль оператора, там операторы все самосопряжены. Правда, чего-то не припомню, чтобы там формально операция модуля использовалась -- уж очень она неестественна. Но я и вообще квантовую механику уже очень плохо помню.

(Формально модуль самосопряжённого оператора -- это $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}|\lambda|\,dE(\lambda)$, где $dE(\lambda)$ -- это спектральная мера и $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\lambda\,dE(\lambda)$ -- это спектральное разложение исходного оператора. В принципе, и для более-менее любого оператора $A$ можно определить модуль как $\sqrt{A^*A}$, поскольку оператор под корнем -- самосопряжён и неотрицателен.)

[Sla_sh]

В статье, которую я разбираю норма пространства ядерных операторов, определенных на Гильбертовом пространстве задается через операцию взятия следа от модуля оператора. Однако я пока не совсем понимаю что подразумевается под следом модуля оператора.

А можно мне ссылку на вот это формальное определение модуля оператора, которое вы привели?

[ewert]

Для ядерных операторов след -- это просто сумма всех его собственных чисел. А спектральное разложение такого оператора -- это просто ряд из ортопроекторов на собственные подпространства, умноженных на собственные числа. Определение модуля оператора тогда сводится просто к тому, что все собственные числа в этом разложении заменяются на их модули.

Ссылку сейчас дать не могу, это фольклор. Попробуйте глянуть, например, в Рида-Саймона.

[Sla_sh]

Интересно. Значит, ларчик просто открывался.

У Рида и Саймона таки нашел. В прошлый раз не обнаружил. Спасибо за помощь.

[ewert]

Sla_sh в сообщении #275889 писал(а):

Интересно. Значит, ларчик просто открывался.

Не уверен, что так уж вульгарно просто, как я сказал. Для несамосопряжённых компактных -- на пару фраз длиннее. И понятие "модуля оператора" -- там естественным образом не определено. Там определено лишь понятие "ядерность" как сходимость ряда из сингулярных чисел.