Слабая и сильная сходимость в L_2

[Defender]

Вот поставили такую задачу.
Последовательность \{$f_n\} сходиться слабо в $L_2($\Omega$).
$f_n из класса $C^1($\Omega$)$.
$\frac{\partial f_n}{\partial x_i}$, i=1,..,n ограничены в $L_2($\Omega$).
Требуется доказать, что \{$f_n\} сходиться сильно в $L_2($\Omega$).
Пожалуйста, помогите, в сторону чего нужно копать.
Правильно ли я понимаю, что слабая сходимость в данном случае - это поточечная, а сильная - по норме? Или это что-то другое?

[id]

Обычно под слабой сходимостью понимают другое.
$f_n$ сходится к $f$ слабо $\Leftrightarrow$ $\forall g \in L_2 \ \ \int f_n g d\mu$ сходится к $\int f g d\mu$

В Вашем случае, быть может, стоит попробовать поинтегрировать по частям.

[nckg]

Под слабой сходимостью понимается скорее всего $(f_n, g)_{L_2}\to 0$, $\forall g\in L_2$ (как и написал id; такую сходимость можно рассматривать как поточечную если $f_n$ считать функционалами), под сильной --- сходимость по норме $L_2$.
Если не интегрировать по частям, можно рассуждать так:
1) Т.к. $\{f_n\}$ сходится слабо в $L_2$, эта последовательность равномерно ограничена по норме $L_2$
2) Стало быть $\{f_n\}$ равномерно ограничены по норме пространства Соболева $W^1_2$
3) В силу компактности вложения $W^1_2$ в $L_2$ последовательность $\{f_n\}$ компактна в $L_2$
4) Последовательность $\{f_n\}$ компактна и сходится слабо $\Rightarrow$ она сходится сильно.

[Defender]

Супер, спасибо, то что надо.
Вечером подробно распишу, что у меня получилось.
Единственный вопрос, где можно посмотреть это утверждение?

nckg в сообщении #275841 писал(а):

4) Последовательность $\{f_n\}$ компактна и сходится слабо $\Rightarrow$ она сходится сильно.

Сегодня перерыл кучу книг в библиотеке, но не нашел нигде.

[ewert]

Не надо смотреть. Из компактности (точнее, предкомпактности) следует, что по подпоследовательность она сходится сильно. И, естественно, к слабому пределу -- одному и тому же для любой подпоследовательности. Ну там ещё пара заклинаний -- и всё.

-------------------------------------------------------------------------
Это -- почему это должно быть очевидно. А почему формально. Если последовательность сильно не сходится, то, во всяком случае, по подпоследовательности она отделена от своего слабого предела. Но и эта подпоследовательность-то ведь тоже предкомпактна и, значит, по некоторой уже своей подпоследовательности к чему-то сильно сходится. А тогда не к чему иному, как к слабому пределу исходной последовательности. Противоречие.

[nckg]

Defender в сообщении #275934 писал(а):

Единственный вопрос, где можно посмотреть это утверждение?

Можете посмотреть книгу Треногина. Там используется принцип равномерной ограниченности.