Динамика.Задачка.

[Marina]

Помогите разобраться с задачей:
На наклонной плоскости лежит брусок. К бруску приложена сила $F$, равная удвоенной силе тяжести бруска$mg$ и направленная вдоль наклонной плоскости вверх. Коэффициент трения между бруском и наклонной плоскостью$\mu=1$ . При каком угле наклона плоскости к горизонту$\alpha$ ускорение бруска$a$ при его движении по плоскости вверх будет минимальным?

Я составил уравнение движения бруска: $ \left\{ \begin{array}{l} \ ma=F-mgSin \alpha-\mu N \\ \ N=mgCos \alpha \end{array} \right. $

[meduza]

Выразите ускорение $a=a(\alpha)$ и исследуйте его на экстремумы. (Уравнения составлены верно).

[Marina]

У меня получилось так : $a=2g-g(Sin\alpha+Cos\alpha)$

[meduza]

Ну и дальше? Находите минимум этой функции по $\alpha$.

[Marina]

Я учусь в 9 классе и мы экстримумы функции ещё не проходили. Возможно ли по другое решение задачи?

[meduza]

Ну можно и без производных. Вы должны знать, что $-1\leqslant \sin x \leqslant 1$. При каком значении синуса ваше $a=2g-g(\sin\alpha+\cos\alpha)=2g-\sqrt{2}g\sin(\alpha+\frac {\pi} 4)$ будет минимальным? Ну а если знаете синус, то и сам угол найдёте.

[PapaKarlo]

Marina в сообщении #275986 писал(а):

При каком угле наклона плоскости к горизонту$\alpha$ ускорение бруска$a$ при его движении по плоскости вверх будет минимальным?

Marina в сообщении #276069 писал(а):

мы экстримумы функции ещё не проходили. Возможно ли по другое решение задачи?

Рассуждайте логическим путем. С одной стороны, если трение очень велико, то брусок не будет соскальзывать вниз даже при очень большом наклоне. С другой стороны, если трение мало, то скатывающую силу, возникающую при наклоне, приходится компенсировать силой, направленной вверх. Если же с компенсирующей силой "переборщить", то брусок начнет наоборот двигаться с ускорением вверх. Теперь вопрос: при каком условии (описать условие словами!) ускорение бруска будет минимальным?

И подсказка для выбора одного из двух возможных вариантов ответа: подумайте, как соотносятся направления движениия бруска и силы трения (это поясняет последнюю часть условия задачи)?

[Marina]

Я думаю, что если сила действующая на брусок и сила трения между бруском и наклонной плоскостью будут равны по модулю и противоположны по направлению, тогда ускорение будет минимальным.

[Marina]

meduza в сообщении #276089 писал(а):

Ну можно и без производных. Вы должны знать, что $-1\leqslant \sin x \leqslant 1$. При каком значении синуса ваше $a=2g-g(\sin\alpha+\cos\alpha)=2g-\sqrt{2}g\sin(\alpha+\frac {\pi} 4)$ будет минимальным? Ну а если знаете синус, то и сам угол найдёте.

А если дальше так решать:$a=2g-g(\sqrt{2}Cos(45-\alpha))=g+g\sqrt{2}Cos\alpha$
Приравнял $a$ нулю:
$1=\sqrt{2}Cos\alpha \to Cos\alpha=\frac {1} {\sqrt{2}} \to \alpha=45$. Будет ли это верно?

[meduza]

Marina в сообщении #276339 писал(а):

А если дальше так решать:$a=2g-g(\sqrt{2}Cos(45-\alpha))=g+g\sqrt{2}Cos\alpha$. Приравнял $a$ нулю:...

Во-первых, последнее равенство не верно, а во-вторых, не понятно зачем вы потом приняли $\alpha=0$. Я же писал: у вас есть функция $a=2g-\sqrt{2}g\sin(\alpha+\frac {\pi} 4)$, синус по модулю не превосходит единицы ($-1\leqslant \sin x \leqslant 1$). Вам нужен минимум, т. е. вам нужно, чтобы член $\sqrt{2}g\sin(\alpha+\frac {\pi} 4)$ был максимально возможным (т. к. он вычитается). Ну и подумайте, при каком синусе этот член станет больше всего?

P. S. Синус и косинус пишутся так: $\sin \alpha, \cos \alpha$ (наведите мышь). Если вы любите градусы, то и пишите, что это градусы: $45^{\circ} = \frac {\pi} 4$, иначе это рассматривается как радианы.

[Marina]

Этот член $\sqrt{2}g\sin(\alpha+\frac {\pi} 4)$ станет максимально возможным при $\alpha=\frac {\pi} 4$?

[meduza]

Marina
Да.