Теория групп: фактор-кольцо nZ/ndZ

[MMM-2000]

Здравствуйте

есть задача:
построить фактор-кольцо $nZ/ndZ$ и выяснить когда оно является полем.

Фактор-уольцо я построил. Проблема с определением того, когда это кольцо является полем.
Я доказал, что d должно быть обязательно простым. Иначе в кольце есть делители нуля.
А дальше не знаю что делать. =(

Сейчас я пытаюсь найти единицу в кольце подозреваю, что она не всегда существует. вероятно она существует если $n=kd+1$ где k - некоторое целое.

Но доказать этого не получается. Подскажите пожалуйста как это можно сделать?

[Профессор Снэйп]

Ну, это мегаклассика. Кольцо $\mathbb{Z}_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ является полем тогда и только тогда, когда $n$ простое.

В одну сторону Вы уже доказали. В другую сторону... докажите, что если числа $a,b \in \mathbb{Z}$ взаимно просты, то найдутся $n,m \in \mathbb{Z}$, для которых $an + bm = 1$. Для этого есть множество способов, так или иначе ссылающиеся на алгоритм Евклида. Например, воспользоваться индукцией по $|a| + |b|$.

-- Пн дек 28, 2009 21:00:38 --

Опс!... Перепутал $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ с $n\mathbb{Z}/nd\mathbb{Z}$

[MMM-2000]

Вот мне нужен кретерий когда они изоморфны!
Там не всегда есть сохранение операции умнажения.
Если этот изоморфизм есть то всё просто...

[Профессор Снэйп]

Значит, так.

1) Если $d$ не простое, то $n\mathbb{Z}/nd\mathbb{Z}$ --- не поле. Уже установили.

2) Если $d$ простое и $n$ делится на $d$, то в кольце $n\mathbb{Z}/nd\mathbb{Z}$ нет единицы. Действительно, любой элемент этого кольца в квадрате даст $0$.

3) Если $d$ простое и $n$ не делится на $d$, то $n\mathbb{Z}/nd\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_d$. Изоморфизм $\varphi: \mathbb{Z}/d\mathbb{Z} \to n\mathbb{Z}/nd\mathbb{Z}$ задаётся правилом $\varphi(x + d\mathbb{Z}) = ncx + nd\mathbb{Z}$, где $c$ таково, что $nc \equiv 1 (\mathrm{mod}\, d)$.

Вроде всё

[MMM-2000]

Спасибо!

[Профессор Снэйп]

Чуть более общо у меня получился следующий критерий.

Для ассоциативного и коммутативного кольца $R$ (не обязательно с единицей) фактор-кольцо $R/I$ является полем тогда и только тогда, когда идеал $I$ максимален и существует $u \in R$, такой что $u \not\in I$ и $u^2-u \in I$.

Применительно к нашему случаю $R = n\mathbb{Z}$ и $I = nd\mathbb{Z}$ максимальность $I$ равносильна простоте $d$, а наличие $u$ с нужными свойствами --- наличию в $\mathbb{Z}_d$ ненулевого $x$ со свойством $x(nx-1)=0$. Для последнего достаточно взаимной простоты $d$ и $n$.