Доказательство ВТФ методом конечного спуска

[Виктор Ширшов]

Пока Ananova и К° патентуют свои доказательства ВТФ, ищут издателей и теряют приоритет, предлагаю участникам подфорума «постирать» мою просто, но хорошо расписанную «простынку».
ВТФ формулируется удивительно просто: не существует натуральных (целых положительных) чисел $x, y, z, n$, которые при $n>2$ составляют равенство $x^n+y^n=z^n$.
В соответствии с правилами подфорума ВТФ «Участники, предлагающие доказательство ВТФ, должны сначала представить доказательство для степени три». С учётом этого, сначала рассмотрим доказательство неразрешимости уравнения $z^n =x^n+y^n$ для $n=3$, потому, как и «куб однако разделить на два куба… невозможно». ВТФ для «куба» или для степени $n=3$ запишем соответствующим образом: $z^3 \ne x^3+y^3$, если $x, y, z, n$ -натуральные числа.
Справедливость утверждения Ферма для $n=3$ докажем способом от противного, сначала сделав предположение, противоположное тому, что утверждается в ВТФ. Доказательство от противного утверждает, что если принятое допущение приводит к противоречию, показывающему ложность известных аксиом и ранее доказанных теорем, то оно - неверное, а истинным является искомое утверждение. Доказательство неразрешимости проблемного уравнения $z^n =x^n+y^n$ Ферма предлагал выполнить как раз способом от противного, применив ещё и «метод спуска».

Доказательство для $n=3$
1. Предположим, что среди всех натуральных чисел есть три натуральных числа $x< z> y$, которые при $n=3$ составляют равенство в $z^3=x^3+y^3$.
2. Применив «метод спуска» для степени, разделим обе части равенства на $z$. В результате деления получим равенство $z^2=\frac{x}{z}x^2+\frac{y}{z}y^2$, в котором множители $\frac{x}{z}$, $\frac{y}{z}$ соответственно при $x^2$и $y^2$, очевидно, не равны $1$, так как $x<z>y$.
3. Полученное равенство: а) противоречит решению для «пифагоровых троек», принадлежащих к натуральным числам, и составляющих равенство $z^2=x^2+y^2$; б) не удовлетворяет условию теоремы, по которому уравнение $z^3=x^3+y^3$ решается только в натуральных числах.
4. На этом основании выводим, что наше предположение $z^3=x^3+y^3$ было неверным, а истинным является утверждение Ферма, т. е. $z^3 \ne x^3+y^3$.
Аналогичным образом можно доказать неразрешимость уравнения $z^n =x^n+y^n$ в натуральных числах для всех степеней, больших 3.

Shwedka писала: «Общее доказательство рассматривается после одобрения Форумом этого частного случая». Извините за то, что общее доказательство выношу на обсуждение преждевременно. Делаю это потому, что доказательство и для общего случая ВТФ базируется на одном подходе, к которому применяется рекомендуемый Ферма "метод спуска".
Доказательства Великой теоремы Ферма, Эйлером, Лежандром, Дирихле и других математиков, о которых говорит Коровьёв в topic26649.html и, на которые порой ссылаются другие участники форума, фактически могли быть выполнены только МЕТОДОМ КОНЕЧНОГО СПУСКА, а не бесконечного, как то утверждается. К примеру, Эйлер осуществил доказательство для ступени 3, опустившись не бесконечно, всего на одну степень: в качестве исходного пункта он применил уравнение $z^4=x^4+y^4$, ранее доказанное Ферма. Намеренно расплывчатое доказательство этого уравнения записано на полях «Арифметики» Диофанта. В книге С. Сингха «Великая теорема Ферма», которую можно найти в http://www.4ygeca.com/ch3.htm#G24_4, это самое доказательство изложено уже более определённо:
«Чтобы доказать, что уравнение $x^4+y^4=z^4$ не допускает решения в целых числах, Ферма начал с предположения о существовании гипотетического решения в целых числах
$x=X_1$, $y=Y_1$, $z=Z_1$
При изучении свойств чисел $(X_1, Y_1, Z_1)$ Ферма показал, что если бы такое гипотетическое решение действительно существовало, то существовало бы меньшее решение $(X_2, Y_2, Z_2)$. Рассматривая это новое решение, Ферма смог показать, что если бы оно существовало, то существовало бы еще меньшее решение $(X_3, Y_3, Z_3)$ и т.д.
Ферма обнаружил нисходящую лестницу решений, которая теоретически могла бы продолжаться неограниченно, порождая все меньшие и меньшие решения. Но $x$, $y$ и $z$ должны быть целыми положительными (так называемыми натуральными) числами, поэтому НЕСКОНЧАЕМАЯ НИСХОДЯЩАЯ ЛЕСТНИЦА НЕВОЗМОЖНА, ПОТОМУ ЧТО ДОЛЖНО БЫТЬ НАИМЕНЬШЕЕ ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ (выделено мною). Полученное противоречие доказывает, что начальное предположение о существовании решения $(X_1, Y_1, Z_1)$ было ложным. Итак, используя метод бесконечного спуска, Ферма доказал, что при $n=4$ уравнение $ x^n + y^n = z^n $ не может иметь целочисленных решений».
«Метод спуска» в изложении Ферма звучит таким образом*:
«Если бы существовал некоторый прямоугольный треугольник в целых числах, который имел бы площадь, равную квадрату, то существовал бы другой треугольник, меньший этого, который обладал бы тем же свойством. Если бы существовал второй, меньший первого, который имел бы то же свойство, то существовал бы, в силу подобного рассуждения, третий, меньший второго, который имел бы то же свойство, и наконец, четвёртый, пятый, спускаясь до бесконечности. Но если задано число, то не существует бесконечности по спуску меньших его (я всё время подразумеваю целые числа). Откуда заключаю, что не существует никакого прямоугольного треугольника с квадратной площадью».
По утверждению Ферма, уравнение Диофанта $z^n=x^n+y^n$ невозможно решить в ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. В Великой теореме Ферма о них не говорит, но он «всё время подразумевает целые числа». Очевидно, стороны прямоугольного треугольника, можно делить пропорционально БЕСКОНЕЧНО**, так и не получив наименьший треугольник, пропорциональный исходному, стороны которого будут связаны равенством $1=x_1^2+y_1^2$. Но также очевидно и то, что если заданы целые числа, в нашем случае обозначенные $z$, $x$, $y$, речь может идти только о КОНЕЧНОМ СПУСКЕ по степеням до этих самых чисел, т. е. фактически до равенства $z=x+y$. Наверное, можно ограничиться и Пифагоровым равенством, так как, согласно теореме, «…разделить…любую степень… БОЛЬШЕ ВТОРОЙ на две степени с тем же обозначением невозможно».
Старожилы математического форума, наверное, помнят схему n→1→n , которую я предлагал в первой своей теме по данной проблеме (стр.9). Эта схема показывает, что доказательство ВТФ надо провести сначала с помощью «метода спуска» по степени от $n$ до $1$, а потом доказать неразрешимость уравнения $z^n=x^n+ y^n$ «методом подъёма». «1» означает спуск до 1-й степени, то есть до равенства $z=x+y$. Правда, ранее метод конечного спуска предлагался мною скорее интуитивно, чем осознанно.
Итак, ВТФ утверждает: если $x, y, z, n$ - натуральные числа, то при $n>2$ $z^n \ne x^n+y^n$.

Доказательство ВТФ для общего случая
1.Доказательство справедливости утверждения Ферма для любой степени, большей 2, проведём от противного, предположив противоположное, т. е. $z^n = x^n+y^n$, в котором $x<z>y$
2 . Сначала, применив «метод спуска» до $n=3$ , разделим обе части предполагаемого равенства $z^n=x^n+y^n$ на $z^{n-3$}.
3. Получим противоречивое равенство $z^3=(\frac{x}{z)})^{n-3} x^3+(\frac{y}{z})^{n-3} y^3$, составленное из натуральных и дробных чисел***,
4. После этого, применив «метод спуска» до $n=2$, разделим обе части предполагаемого равенства $z^n=x^n+y^n$ на $z^{n-2}$.
5. Снова получим противоречивое равенство $z^2=(\frac{x}{z})^{n-2} x^2+(\frac{y}{z})^{n-2} y^2$ для натуральных чисел $x, y, z$, не принадлежащих к «пифагоровым тройкам» .
6. Наконец, применив «метод конечного спуска», разделим обе части предполагаемого равенства $z^n=x^n+y^n$ на $z^{n-1}$.
7. Опять получим противоречивое равенство $z=(\frac{x}{z)})^{n-1} x+(\frac{y}{z})^{n-1} y$ для случая, когда при $n=1$ натуральные числа $x, y, z$ образуют равенство $z=x+y$.
Таким образом, все полученные равенства НЕ удовлетворяют условию теоремы, по которому в любой степени уравнение $z^n=x^n+y^n$ решается только в натуральных числах.
К тому же:
а) равенство $z^2=(\frac{x}{z})^{n-2} x^2+(\frac{y}{z})^{n-2} y^2$ противоречит частному решению для «пифагоровых троек», принадлежащих к натуральным числам, и составляющих Пифагорово равенство $z^2=x^2+y^2$;
б) равенство $z=(\frac{x}{z})^{n-1} x+(\frac{y}{z})^{n-1} y$ противоречит частному случаю, когда натуральные числа $(x,y,z)$ составляют равенством $z=x+y$ .
8. На этом основании выводим, что наше предположение $z^n=x^n+y^n$ было неверным, а истинным является утверждение Ферма, т. е. $z^n \ne x^n+y^n$ при $n>2$.

*Ферма изложил «метод спуска» в 45 примечании к «Арифметике» Диофанта и в своём письме (от 1636 года) к Каркави, применив его для доказательства того, что площадь прямоугольного треугольника не может быть равна квадрату целого числа.
** Георг Кантор определил бесконечность как длину нескончаемого перечня натуральных чисел. Как известно, счёт всех натуральных чисел начинается с $1$ $(1, 2, 3, 4, ...)$ и заканчивается бесконечностью. Совершенно очевидно, что обратный счёт натуральных чисел не бесконечен, так как он заканчивается этой самой $1$.
*** Натуральные числа, складываясь и умножаясь на целые числа, дают другие целые числа. При делении меньших натуральных чисел $x$ и $y$ на большее натуральное число $z$, получается дробь, которая, умножаясь на натуральные числа и, возводящаяся в степень, ею и остаётся

[Someone]

Опрос двусмысленный: о каком доказательстве идёт речь? Все слышали о доказательстве Уайлса, но, похоже, Виктор Ширшов имеет в виду своё собственное. Посему отвечаю: в сообщении Виктора Ширшова нет ни только доказательства для общего случая, но нет и доказательства для третьей степени. Более того, это мы уже где-то ("Доказательство ВТФ в соответствии с правилами Форума") видели, и такое повторение уже обсуждённого и отвергнутого "доказательства" наводит на мысль о троллинге.

[yk2ru]

Существование верного доказательства вы, Виктор Ширшов, решили выяснить демократическим способом - через голосование?

[Виктор Ширшов]

Someone в сообщении #275835 писал(а):

Опрос двусмысленный: о каком доказательстве идёт речь? Все слышали о доказательстве Уайлса, но, похоже, Виктор Ширшов имеет в виду своё собственное. Посему отвечаю: в сообщении Виктора Ширшова нет ни только доказательства для общего случая, но нет и доказательства для третьей степени. Более того, это мы уже где-то ("Доказательство ВТФ в соответствии с правилами Форума") видели, и такое повторение уже обсуждённого и отвергнутого "доказательства" наводит на мысль о троллинге.

Как я знаю, Уайлс доказал теорему японца, но не француза. Someone, Вы традиционно повторяете, что Уайлс доказал ВТФ. Сам он занимался эллиптическими кривыми и кубическими уравнениями. По его собственным словам, «вся математика, которую мне удалось разработать, восходит если не к Великой теореме Ферма, то к другим его идеям». Именно к другим идеям применима его доказательство. Да, я повторяюсь, но в той теме, о которой Вы говорите, я был скуп на слова и не обосновал свой вывод.

yk2ru в сообщении #275893 писал(а):

Существование верного доказательства вы, Виктор Ширшов, решили выяснить демократическим способом - через голосование?

Что не запрещено, то разрешено. Вы, по-видимому, пассивно проигнорировали опрос: лучше бы сказали, нет.
Не понимаю, за что я временно заблокирован. Вчера 27 декабря в 21 час 01 минуту месячный бан вроде бы сняли по истечении срока. Неуж-то, опять получимл бан? Хочу знать, за что в этот раз?

[12d3]

Доказательство для $n=2$
1. Предположим, что среди всех натуральных чисел есть три натуральных числа $x< z> y$, которые при $n=2$ составляют равенство в $z^2=x^2+y^2$.
2. Применив «метод спуска» для степени, разделим обе части равенства на $z$. В результате деления получим равенство $z=\frac{x}{z}x+\frac{y}{z}y$, в котором множители $\frac{x}{z}$, $\frac{y}{z}$ соответственно при $x$и $y$, очевидно, не равны $1$, так как $x<z>y$.
3. Полученное равенство: а) противоречит решению для троек чисел, принадлежащих к натуральным числам, и составляющих равенство $z=x+y$; б) не удовлетворяет условию теоремы, по которому уравнение $z^2=x^2+y^2$ решается только в натуральных числах.
4. На этом основании выводим, что наше предположение $z^2=x^2+y^2$ было неверным, а истинным является утверждение Ферма, т. е. $z^2 \ne x^2+y^2$.
Аналогичным образом можно доказать неразрешимость уравнения $z^n =x^n+y^n$ в натуральных числах для всех степеней, больших 2.

[Виктор Ширшов]

12d3. Я понимаю это - дополнение к приведённому доказательству. Мне кажется, Вам надо обратиться к модераторам, чтобы изменили правила.

-- Пн дек 28, 2009 16:18:42 --

12d3. Зачем делать предположение $z^2=x^2+y^2$, если известно, что есть множество троек натуральных чисел, образующих это самое равенство. Наверное, Вам надо было доказывать, что пифагоровы тройки в первой степени не могут составлять равенство.

[shwedka]

Виктор Ширшов
Вы упорно повторяете имитацию доказательств, за которую вы неоднократно были осуждены. Но прошу ответить по существу. Хотя бы на этом месте.

Виктор Ширшов в сообщении #275803 писал(а):

3. Получим противоречивое равенство $z^3=(\frac{x}{z)})^{n-3} x^3+(\frac{y}{z})^{n-3} y^3$, составленное из натуральных и дробных чисел***,

Напишите подробно, в чем состоит противоречие.

утверждение

Виктор Ширшов в сообщении #275803 писал(а):

*** Натуральные числа, складываясь и умножаясь на целые числа, дают другие целые числа. При делении меньших натуральных чисел $x$ и $y$ на большее натуральное число $z$, получается дробь, которая, умножаясь на натуральные числа и, возводящаяся в степень, ею и остаётся

недостаточно, так как оно всего лишь показывает, что отдельные слагаемые в выражении
$(\frac{x}{z)})^{n-3} x^3+(\frac{y}{z})^{n-3} y^3$
не являются целыми. Доказательство нецелости суммы не дано.

[tolstopuz]

Виктор Ширшов в сообщении #275803 писал(а):

3. Получим противоречивое равенство ..., составленное из натуральных и дробных чисел***

Вот пример равенства, составленного из натуральных и дробных чисел:

$$6=\left(\frac{17}{21}\right)^3+\left(\frac{37}{21}\right)^3$$

Считаете ли вы его "противоречивым"?

[Someone]

Виктор Ширшов в сообщении #275912 писал(а):

Как я знаю, Уайлс доказал теорему японца, но не француза. Someone, Вы традиционно повторяете, что Уайлс доказал ВТФ.

Я в курсе. Уайлс сделал завершающий шаг в доказательстве теоремы Ферма. То, что этот шаг оказался в области математики, далёкой от элементарной формулировки Ферма, дела не меняет.

Так Вы спрашиваете о наличии верного доказательства в Вашем сообщении? Или о чём-то другом?

Виктор Ширшов в сообщении #275933 писал(а):

12d3. Зачем делать предположение $z^2=x^2+y^2$, если известно, что есть множество троек натуральных чисел, образующих это самое равенство. Наверное, Вам надо было доказывать, что пифагоровы тройки в первой степени не могут составлять равенство.

Гы-гы-гы! А чем это доказательство отличается от Вашего? 12d3 пошёл по Вашим стопам и доказал, что пифагоровых троек не существует. В частности, разумеется, $3^2+4^2$ ни в коем случае не может равняться $5^2$.

Виктор Ширшов в сообщении #275912 писал(а):

Неуж-то, опять получимл бан? Хочу знать, за что в этот раз?

А вот за это самое:

shwedka в сообщении #275949 писал(а):

Вы упорно повторяете имитацию доказательств, за которую вы неоднократно были осуждены.

[Виктор Ширшов]

shwedka в сообщении #275949 писал(а):

Виктор Ширшов
Вы упорно повторяете имитацию доказательств, за которую вы неоднократно были осуждены. Но прошу ответить по существу. Хотя бы на этом месте.
Виктор Ширшов в сообщении #275803 писал(а):
3. Получим противоречивое равенство , составленное из натуральных и дробных чисел***,


Напишите подробно, в чем состоит противоречие.

утверждение

Хорошо, что осуждён не уголовно. shwedka! Вы дотошны. Противоречие в том, что после деления должно получиться равенство $z^3=x^3+y^3$, а не то, что мы получили.
Пока отвечал на вторую часть Вашего поста, исчезло это. Поэтому буду Вам отвечать частями.

[shwedka]

Виктор Ширшов в сообщении #275993 писал(а):

Противоречие в том, что после деления должно получиться равенство $z^3=x^3+y^3$

Докажите, что должно получиться это равенство.

[Виктор Ширшов]

shwedka в сообщении #275997 писал(а):

Виктор Ширшов в сообщении #275993 писал(а):
Противоречие в том, что после деления должно получиться равенство

Докажите, что должно получиться это равенство.

Мы предположили, что существует решение $z^n=x^n+y^n$. Если бы такое решение существовало, то существовало бы и другое решение с меньшим показателем, в частности, $z^3=x^3+y^3$.

Произошло наложение постов (Вашего с моим) и мой ответ Вам на вторую часть вашего предыдущего поста не прошёл. Через несколько минут отвечу на него. Извините, я не так быстр, к тому же у меня не копируется досчловно цитаты (в них отсутствуют формулы, которые приходится восстанавливать).

[venco]

(Оффтоп)

По моему, Виктору Ширшову ничего невозможно объяснить. Можно лишь убедить контр-примерами, которые, по очевидным причинам, трудно использовать в доказательстве ВТФ.

[Виктор Ширшов]

shwedka. Прошу извинить за задержку ответа. Теперь мы с venco одновременно отправили сообщения и опять моё не прошло.

shwedka в сообщении #275949 писал(а):

утверждение
Виктор Ширшов в сообщении #275803 писал(а):
*** Натуральные числа, складываясь и умножаясь на целые числа, дают другие целые числа. При делении меньших натуральных чисел и на большее натуральное число , получается дробь, которая, умножаясь на натуральные числа и, возводящаяся в степень, ею и остаётся

недостаточно, так как оно всего лишь показывает, что отдельные слагаемые в выражении

не являются целыми. Доказательство нецелости суммы не дано.

Сумма у меня, как и у tolstopuz в его примере - целая, но каждое слагаемое, составляющее полученное выражение - не целое по тем посылам, которые я указал, а Вы привели в качестве цитаты. Но ВТФ утверждает, что все составляющие равенства должны быть целыми положительными числами.

[shwedka]

Виктор Ширшов в сообщении #276002 писал(а):

Если бы такое решение существовало, то существовало бы и другое решение с меньшим показателем, в частности, $z^3=x^3+y^3$.

Докажите!

-- Пн дек 28, 2009 18:34:24 --

Виктор Ширшов в сообщении #276018 писал(а):

Но ВТФ утверждает, что все составляющие равенства должны быть целыми положительными числами.

Неправда!! Покажите, где ВТФ говорит о ВАШЕМ, то есть о преобразованном равенстве.