Исследование на сходимость ряда.

[Vtorokursnik]

Здравствуйте. Подайте, пожалуйста, идею какую-нибудь.

Необходимо исследовать на сходимость ряд:
$\sum_{n=3} \frac{a_n}{n\ln(n+1)}$
где ${a_n}=1$ при n=5k+1,n=5k+2
и ${a_n}=-1$ при n=5k,n=5k-1,n=5k-2.

Я могу сказать, что он не сходится абслолютно (использую интегральный признак), но вот то, что он вообще расходится - тут стопор... заранее благодарю.

[ozhigin]

ну как это?
Вы берете модуль $\frac{1} {nln(n+1)}$ получается, в знаменателе степень $n >1$ засчет логарифма, мне кажется что он сходится

А по поводу условной сходимости, можно попробывать применить признак Лейбница

[bot]

Подскажу. А что если бы было $a_n=0$ при $n=5k$?

[Vtorokursnik]

О, ozhigin - это, конечно, Дима-одногруппник?:)
Нет, Дим. Он расходится. Я это уже доказал.
Но...спасибо.

[ozhigin]

не пали контору)
ну да по интегральному расходится

[bot]

А при чём здесь интегральный?

[RIP]

bot в сообщении #276188 писал(а):

А при чём здесь интегральный?

Я так понял, что обсуждается абсолютная (ра)сходимость.

[ewert]

Не важно, и для условной расходимости потребуется интегральный признак.

[Полосин]

Сгруппируйте члены ряда в частичной сумме.

[ToJluK]

Думаю можно попробовать так: разбить исходный ряд на три "части":
первая будет содержать (5k-1)-ые и (5k+1)-ые члены исходного ряда;
вторая- (5k-2)-ые и (5k+2)-ые члены - получится два знакочередующихся и
сходящихся по Лейбницу ряда. А третья часть, т.е. ряд, составленный из
5k-ых членов исходного ряда, будет представлять собой знакоотрицательный
ряд, расходящийся так же, как расхдоится ряд из модулей (если это действительно
так, я не проверял))) Тогда исходный ряд будет расходиться как сумма двух сходящихся
и одного расходящегося ряда. =)

[ewert]

Шибко сложно. Просто сгруппируйте те члены по пятёркам. Их суммарное поведение на бесконечности очевидно, ну и т.д.

[bot]

Почему сложно? Совершенно прозрачно. На мог взгляд - это первое и самое простое, что в голову может придти. Ровно на это я и намекал:

bot в сообщении #275478 писал(а):

Подскажу. А что если бы было $a_n=0$ при $n=5k$?

А чтобы это "бы было" реализовать, надо просто выделить в отдельную сумму заведомо расходящийся ряд. Оставшийся сходится прямо по Дирихле или группировкой по Лейбницу или как сумма двух сходящихся по Лейбницу, как ToJluK пишет.

[ewert]

bot в сообщении #276768 писал(а):

А чтобы это "бы было" реализовать, надо просто выделить в отдельную сумму заведомо расходящийся ряд. Оставшийся сходится прямо по Дирихле или группировкой по Лейбницу или как сумма двух сходящихся по Лейбницу, как ToJluK пишет.

Вот именно, и всё это -- некоторая возня, пусть и простая. Вместо того, чтобы тупо и грубо сказать: если $c_k=b_{5k-2}+b_{5k-1}+b_{5k}+b_{5k+1}+b_{5k+2}$, то $c_k\sim-{1\over5k\,ln5k}$ и, следовательно, ряд из $c_k$ расходится.

[bot]

Я что-то в таких нюансах разбираться разучился - по-моему это одинаково тривиально.

[ewert]

(Оффтоп)

Конечно. Однако прикиньте: а если добавить к какому-либо слагаемому слабенькую поправку, нарушающую дирихлёвость или лейбницевость?...