Два ряда...

[INDIGO1991]

Здравствуйте!

Есть интересная задачка:

Необходимо доказать, что ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{sin(x\sqrt{n})}{n^{\alpha}}}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{cos(x\sqrt{n})}{n^{\alpha}}}$ где $x\neq0$ схожятся при $\alpha>1/2$ и расходятся при $\alpha<1/2$

Мысли по поводу задачки:
1)Ну ясно, что при $\alpha>1$ и $\alpha<0$ проблем нет.
2) раз ряды даны вместе то наверняка их надо как-то комбинировать, хотя однин вроди несложно сводится ко второму.
3)Вся проблема вообще говоря заключается в корне под синусом, поэтому при попытках доказать оба утверждения по определению возникают проблемы с оценками.
4) Пытался воспользовать признаком Дирихле, но попытка ограничить частичные суммы ряда с общим членом $sin(x\sqrt{n}$ не увенчалась успехом.
5) Так же есть идея рядки, почленное интегрирование(правомерное разумеется) которой приведет к исходным рядам. Сейчас нахожусь на этой стадии.

Вообщем уже полтары недели бьюсь, даже не знаю в каком направлении лучше двигаться.
Подскажите, пожалуйста, что лучше делать с этими рядами.

[Полосин]

Попробуйте свести к несобственному интегралу, разбив полупрямую на участки монотонности синуса (косинуса) и оценив погрешность.
И исправьте девиз: правильно - ключом.

[ewert]

Я, скорее всего, скажу ровно то же, что и Полосин. При альфах, меньших либо равных единице -- приращения степеней много меньше единички и, следовательно, сумма ряда при больших эн является фактически интегральной. Т.е. задача сводится к сходимости интеграла $\int_1^{+\infty}{\cos x\sqrt n\over n^{\alpha}}\,dn$ (ну или синус -- неважно). С которым всё ясно.

Тут, правда, возникает некоторая формальная проблема с аппроксимацией сумм интегралами. Соображения монотонности тут не очень-то помогают -- во всяком случае, на первый взгляд: ведь моменты перескоков не слишком предсказуемы. Но зато поправочные члены убывают на порядок быстрее, чем основные и, таким образом, не должны мешать анализу сходимости.

[INDIGO1991]

Ну я впринципе магистральную идею понял... Спасибо.
Сейчас порешаю формально, если чего-то не получится - напишу.

[INDIGO1991]

А как это формально описать?
От интеграла к ряду я умею переходить, а обратно тем более не знакопостоянный ряд...
С этим проблема...

[ewert]

Общий член ряда $\dfrac{\cos(x\sqrt n)}{n^\alpha}$ -- это формула центральных прямоугольников для интеграла $\displaystyle\int_{n-1/2}^{n+1/2}\dfrac{\cos(x\sqrt t)}{t^\alpha}\,dt$. Погрешность этой формулы оценивается через максимум на промежутке интегрирования модуля второй производной от подынтегральной функции по переменной $t$, которая не превосходит некоторой константы на $n^{-1-\alpha}$. Это выражение при всех положительных альфах даёт сходящийся ряд, т.е. не влияет на сходимость всего остального -- и, следовательно, сходимость исходного ряда равносильна сходимости соответствующего интеграла. А для неположительных альф расходимость ряда достаточно очевидна.