2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Два ряда...
Сообщение25.12.2009, 09:39 


30/04/09
81
Нижний Новгород
Здравствуйте!

Есть интересная задачка:

Необходимо доказать, что ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{sin(x\sqrt{n})}{n^{\alpha}}}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{cos(x\sqrt{n})}{n^{\alpha}}}$ где $x\neq0$ схожятся при $\alpha>1/2$ и расходятся при $\alpha<1/2$

Мысли по поводу задачки:
1)Ну ясно, что при $\alpha>1$ и $\alpha<0$ проблем нет.
2) раз ряды даны вместе то наверняка их надо как-то комбинировать, хотя однин вроди несложно сводится ко второму.
3)Вся проблема вообще говоря заключается в корне под синусом, поэтому при попытках доказать оба утверждения по определению возникают проблемы с оценками.
4) Пытался воспользовать признаком Дирихле, но попытка ограничить частичные суммы ряда с общим членом $sin(x\sqrt{n}$ не увенчалась успехом.
5) Так же есть идея рядки, почленное интегрирование(правомерное разумеется) которой приведет к исходным рядам. Сейчас нахожусь на этой стадии.

Вообщем уже полтары недели бьюсь, даже не знаю в каком направлении лучше двигаться. :(
Подскажите, пожалуйста, что лучше делать с этими рядами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два ряда...
Сообщение25.12.2009, 15:35 
Заслуженный участник


26/12/08
678
Попробуйте свести к несобственному интегралу, разбив полупрямую на участки монотонности синуса (косинуса) и оценив погрешность.
И исправьте девиз: правильно - ключом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два ряда...
Сообщение25.12.2009, 19:37 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Я, скорее всего, скажу ровно то же, что и Полосин. При альфах, меньших либо равных единице -- приращения степеней много меньше единички и, следовательно, сумма ряда при больших эн является фактически интегральной. Т.е. задача сводится к сходимости интеграла $\int_1^{+\infty}{\cos x\sqrt n\over n^{\alpha}}\,dn$ (ну или синус -- неважно). С которым всё ясно.

Тут, правда, возникает некоторая формальная проблема с аппроксимацией сумм интегралами. Соображения монотонности тут не очень-то помогают -- во всяком случае, на первый взгляд: ведь моменты перескоков не слишком предсказуемы. Но зато поправочные члены убывают на порядок быстрее, чем основные и, таким образом, не должны мешать анализу сходимости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два ряда...
Сообщение25.12.2009, 21:46 


30/04/09
81
Нижний Новгород
Ну я впринципе магистральную идею понял... Спасибо.
Сейчас порешаю формально, если чего-то не получится - напишу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два ряда...
Сообщение26.12.2009, 15:12 


30/04/09
81
Нижний Новгород
А как это формально описать?
От интеграла к ряду я умею переходить, а обратно тем более не знакопостоянный ряд...
С этим проблема...

 Профиль  
                  
 
 Re: Два ряда...
Сообщение26.12.2009, 16:03 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Общий член ряда $\dfrac{\cos(x\sqrt n)}{n^\alpha}$ -- это формула центральных прямоугольников для интеграла $\displaystyle\int_{n-1/2}^{n+1/2}\dfrac{\cos(x\sqrt t)}{t^\alpha}\,dt$. Погрешность этой формулы оценивается через максимум на промежутке интегрирования модуля второй производной от подынтегральной функции по переменной $t$, которая не превосходит некоторой константы на $n^{-1-\alpha}$. Это выражение при всех положительных альфах даёт сходящийся ряд, т.е. не влияет на сходимость всего остального -- и, следовательно, сходимость исходного ряда равносильна сходимости соответствующего интеграла. А для неположительных альф расходимость ряда достаточно очевидна.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group