Мощность множества непрерывных функций

[IFRIT]

Собственно сабж. Доказать, что множество всех непрерывных на прямой функций имеет мощность континуум. Поятно, что нижнюю оценку получить просто - одних констант континуум. Но я не знаю, как получить верхнюю оценку..

[Профессор Снэйп]

Используйте следующие два соображения:

1) Если $X$ счётно, то существует ровно континуум функций из $X$ в $\mathbb{R}$.

2) Каждая непрерывная функция задаётся своими значениями в рациональных точках.

[Полосин]

Подсказка: непрерывную функцию достаточно задать на всюду плотном множестве точек.

[IFRIT]

Здорово. Как всё просто. Спасибо)

Если интересно, могу предложить еще задачу:
Пусть функция $f$ дифференцируема на отрезке $[a,b]$ и для каждого $b$ множество ${x:f'(x)=b)$ замкнуто. Докажите, что $f'$ - непрерывная на отрезке функция. В условии написано так, но есть подозрение, что "для каждого $c$ ...", а не "$b$".

[id]

I. Функция на промежутке $<a,b>$ непрерывна тогда и только тогда когда
1) Прообраз каждой точки образа замкнут
2) Образ каждого промежутка $<p,q> \subset <a,b>$ есть промежуток.

II. Теорема Дарбу.


Условие задачи дает нам I.1), а теорема Дарбу - I.2)

[IFRIT]

Спасибо.
А можно чуть подробнее про первый пункт? Почему это так?

[Профессор Снэйп]

IFRIT в сообщении #275561 писал(а):

Спасибо.
А можно чуть подробнее про первый пункт? Почему это так?

Для непрерывности $f$ нам достаточно, чтобы для всех $(c,d)$ множество $f^{-1}(c,d)$ было открытым. Ну и берём объединение всех промежутков, образ которых есть $\subseteq (c,d)$.

[id]

Хм, мне лично казалось, что лемму I как-то естественнее выводить из соображений классификации точек разрыва... Если он первого рода, то получим противоречие с I.2) ( доказываем, понятно дело, от противного ), если второго - то с I.1)

Ну а в другую сторону - что из непрерывности следует лемма - так вообще очевидно.