матлогика, задача на теорему мальцева

[nisir]

Пусть $\Phi$ - предложение сигнатуры $\sigma$ =($\leqslant $) такое, что для любого бесконечного линейно упорядоченного множества $\mathbf{A}$ выполняется $\mathbf{A}$|=$\Phi$. Доказать, что существует $n\in $\omega$$ такое, что для любого линейно упорядоченного множества $\mathbf{B}$ мощности большей, чем n, имеет место $\mathbf{B}$ |= $\Phi$.

[Ираклий]

Предположите противное, что существуют сколь угодно большие конечные л.у.м., на которых предложение $\Phi$ опровергается. Значит, выполняется $\neg\Phi$. Возьмите счетную систему формул, добавив к $\neg\Phi$ формулы "существует хотя бы один элемент", "существует хотя бы два различных элемента" и т.д. И к этой системе примените теорему Мальцева. Получите противоречие.