2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите доказать сходимость последовательности
Сообщение24.12.2009, 21:38 


19/10/09
77
Доказать сходимость ограниченной сверху последовательности, удовлетворяющей условию:
$x_{n+1} - x_n >= \alpha_n$
где $n \in \mathbb{N}$ и $\alpha_n$ таковы, что последовательность:
$\{$\sum\limits_{k=1}^n \alpha_k$\}$ сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать сходимость последовательности
Сообщение24.12.2009, 21:52 
Заслуженный участник


26/12/08
678
Ваши соображения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать сходимость последовательности
Сообщение24.12.2009, 21:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Превратите последовательность $x_n$ в монотонную (неубывающую) и ограниченную (сверху), прибавив к ней некоторую добавку (рассмотрите $x_n+y_n$ при надлежащем выборе $y_n$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать сходимость последовательности
Сообщение24.12.2009, 21:57 


19/10/09
77
Исходя из сходимости последовательности $\{$\sum\limits_{k=1}^n \alpha_k$\}$ и определения по Коши сходимости можно получить:
$| \alpha_n + ... + \alpha_{n+p}|< \varepsilon $
Тогда $x_{n+p}-x_n>-\varepsilon$
По Коши осталось доказать, что $x_{n+p}-x_n<\varepsilon$

-- Чт дек 24, 2009 23:01:15 --

Но более ничего не получается... помогите

-- Чт дек 24, 2009 23:02:54 --

Цитата:
Превратите последовательность $x_n$ в монотонную (неубывающую) и ограниченную (сверху), прибавив к ней некоторую добавку (рассмотрите $x_n+y_n$ при надлежащем выборе $y_n$).

А поподробнее можно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать сходимость последовательности
Сообщение24.12.2009, 22:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
altro в сообщении #274913 писал(а):
А поподробнее можно...
Можно, но нельзя. Ну ладно, мы хотим, чтобы выполнялось неравенство $(x_{n+1}+y_{n+1})-(x_n+y_n)\ge0$. Что можно взять в качестве $y_n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать сходимость последовательности
Сообщение24.12.2009, 22:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
А я чего-то не понял, при чём тут монотонности и прочие ограниченности. Ведь $\sum_1^na_k$ -- это попросту $x_{n+1}$ ( с точностью до начального слагаемого). Соотв., сходимость одного -- равносильна сходимости другого...

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать сходимость последовательности
Сообщение24.12.2009, 22:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
ewert в сообщении #274925 писал(а):
А я чего-то не понял, при чём тут монотонности и прочие ограниченности. Ведь $\sum_1^na_k$ -- это попросту $x_{n+1}$ ( с точностью до начального слагаемого). Соотв., сходимость одного -- равносильна сходимости другого...
Там в первом посте неравенство для $x_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать сходимость последовательности
Сообщение24.12.2009, 22:23 


19/10/09
77
Цитата:
А я чего-то не понял, при чём тут монотонности и ограниченность. Ведь $\sum_1^na_k$ -- это попросту $x_{n+1}$ ( с точностью до начального слагаемого). Соотв., сходимость одного -- равносильна сходимости другого...

$x_n$ и $\alpha_n$ связаны только в неравенстве....

-- Чт дек 24, 2009 23:25:57 --

Цитата:
Можно, но нельзя. Ну ладно, мы хотим, чтобы выполнялось неравенство $(x_{n+1}+y_{n+1})-(x_n+y_n)\ge0$. Что можно взять в качестве $y_n$?

Для $y_n$ должно выполняться условие : $y_{n+1}-y_n>=-\alpha_n$
Но больше ничего неизвестно.

-- Чт дек 24, 2009 23:50:33 --

Пожалуйста предложите ещё какие нибудь способы доказательства....

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать сходимость последовательности
Сообщение24.12.2009, 23:22 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Да, чего-то зевнул. Ну тогда так.

Из предущих соображений следует, что последовательность иксов ограничена снизу. А по условию -- ещё и сверху. Если она не сходится, то у неё есть минимум две разных предельных точки. Тогда сколь угодно далеко будут обнаруживаться пары членов этой последовательности, разности которых меньше некоторого фиксированного отрицательного числа. А по условию эти разности -- больше соотв. участков ряда для $a_k$, которые (согласно сходимости ряда) обязаны стремиться к нулю. Что нехорошо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group