Помогите доказать сходимость последовательности

[altro]

Доказать сходимость ограниченной сверху последовательности, удовлетворяющей условию:
$x_{n+1} - x_n >= \alpha_n$
где $n \in \mathbb{N}$ и $\alpha_n$ таковы, что последовательность:
$\{$\sum\limits_{k=1}^n \alpha_k$\}$ сходится.

[Полосин]

Ваши соображения?

[RIP]

Превратите последовательность $x_n$ в монотонную (неубывающую) и ограниченную (сверху), прибавив к ней некоторую добавку (рассмотрите $x_n+y_n$ при надлежащем выборе $y_n$).

[altro]

Исходя из сходимости последовательности $\{$\sum\limits_{k=1}^n \alpha_k$\}$ и определения по Коши сходимости можно получить:
$| \alpha_n + ... + \alpha_{n+p}|< \varepsilon $
Тогда $x_{n+p}-x_n>-\varepsilon$
По Коши осталось доказать, что $x_{n+p}-x_n<\varepsilon$

-- Чт дек 24, 2009 23:01:15 --

Но более ничего не получается... помогите

-- Чт дек 24, 2009 23:02:54 --

Цитата:

Превратите последовательность $x_n$ в монотонную (неубывающую) и ограниченную (сверху), прибавив к ней некоторую добавку (рассмотрите $x_n+y_n$ при надлежащем выборе $y_n$).

А поподробнее можно...

[RIP]

altro в сообщении #274913 писал(а):

А поподробнее можно...

Можно, но нельзя. Ну ладно, мы хотим, чтобы выполнялось неравенство $(x_{n+1}+y_{n+1})-(x_n+y_n)\ge0$. Что можно взять в качестве $y_n$?

[ewert]

А я чего-то не понял, при чём тут монотонности и прочие ограниченности. Ведь $\sum_1^na_k$ -- это попросту $x_{n+1}$ ( с точностью до начального слагаемого). Соотв., сходимость одного -- равносильна сходимости другого...

[RIP]

ewert в сообщении #274925 писал(а):

А я чего-то не понял, при чём тут монотонности и прочие ограниченности. Ведь $\sum_1^na_k$ -- это попросту $x_{n+1}$ ( с точностью до начального слагаемого). Соотв., сходимость одного -- равносильна сходимости другого...

Там в первом посте неравенство для $x_n$.

[altro]

Цитата:

А я чего-то не понял, при чём тут монотонности и ограниченность. Ведь $\sum_1^na_k$ -- это попросту $x_{n+1}$ ( с точностью до начального слагаемого). Соотв., сходимость одного -- равносильна сходимости другого...

$x_n$ и $\alpha_n$ связаны только в неравенстве....

-- Чт дек 24, 2009 23:25:57 --

Цитата:

Можно, но нельзя. Ну ладно, мы хотим, чтобы выполнялось неравенство $(x_{n+1}+y_{n+1})-(x_n+y_n)\ge0$. Что можно взять в качестве $y_n$?

Для $y_n$ должно выполняться условие : $y_{n+1}-y_n>=-\alpha_n$
Но больше ничего неизвестно.

-- Чт дек 24, 2009 23:50:33 --

Пожалуйста предложите ещё какие нибудь способы доказательства....

[ewert]

Да, чего-то зевнул. Ну тогда так.

Из предущих соображений следует, что последовательность иксов ограничена снизу. А по условию -- ещё и сверху. Если она не сходится, то у неё есть минимум две разных предельных точки. Тогда сколь угодно далеко будут обнаруживаться пары членов этой последовательности, разности которых меньше некоторого фиксированного отрицательного числа. А по условию эти разности -- больше соотв. участков ряда для $a_k$, которые (согласно сходимости ряда) обязаны стремиться к нулю. Что нехорошо.