размерность пространства последовательностей

[Ираклий]

Рассматривается векторное пространство $c_{\infty}$ произвольных последовательностей комплексных чисел над полем $\mathbb C$. Почему его размерность континуум?
Всё пространство континуально, так что понятно, что больше континуума быть не может. Значит, достаточно построить какую-нибудь линейно независимую континуальную систему. Первая мысль была взять континуум последовательностей из 0 и 1, отличных от нулевой и попарно несовпадающих ни с какого места. Но оказалось, что такая система линейно зависима. Как быть?

[RIP]

Можно так рассуждать. Пространство $\mathbb Q^{\omega}$ (над $\mathbb Q$) имеет размерность континуум (док-во даже на форуме можно найти). Возьмём в нём континуум линейно независимых над $\mathbb Q$ последовательностей. Легко видеть, что они будут линейно независимы и над $\mathbb C$ (тут важна рациональность последовательностей).
Вот интересно. А если мощность поля больше континуума, то какова размерность?

[Ираклий]

Хм.. понятно. Хотя и сложновато выходит. В книжке Хелемского по функану про это утверждение сразу после определения размерности написано "Нетрудно усмотреть, что...".

[RIP]

Ираклий в сообщении #274937 писал(а):

В книжке Хелемского по функану про это утверждение сразу после определения размерности написано "Нетрудно усмотреть, что...".

Ему, наверно, нетрудно...
Можно и так, попроще. Легко построить континуальное семейство непустых подмножеств $\mathbb N$, линейно упорядоченное по включению (типа, заменим $\mathbb N$ на $\mathbb Q$, а в качестве множеств возьмём $(-\infty;a)\cap\mathbb Q$, $a\in\mathbb R$). Если рассмотреть их характеристические функции, то они, очевидно, линейно независимы.

[AD]

Ираклий в сообщении #274937 писал(а):

Хм.. понятно. Хотя и сложновато выходит.

Еще можно взять подпространство $\ell_2$, отождествить его с пространством $L_2[0,1]$ посредством системы Фурье, а уж тут континуум линейно независимых функций найти не проблема.

[Ираклий]

RIP в сообщении #274941 писал(а):

Легко построить континуальное семейство непустых подмножеств $\mathbb N$, линейно упорядоченное по включению (типа, заменим $\mathbb N$ на $\mathbb Q$, а в качестве множеств возьмём $(-\infty;a)\cap\mathbb Q$, $a\in\mathbb R$). Если рассмотреть их характеристические функции, то они, очевидно, линейно независимы.

Гениально! Это то что нужно!

AD в сообщении #274944 писал(а):

Фурье

Чур меня! (крестится)

[RIP]

Нет, а всё-таки. Пусть $F$ --- поле, $A$ --- бесконечное множество. Какова размерность $F^A$ над $F$?

[AD]

Ираклий в сообщении #274948 писал(а):

Гениально! Это то что нужно!

Ой, а я и не заметил, что RIP уже гораздо проще то же самое сделал.

Ираклий в сообщении #274948 писал(а):

Чур меня! (крестится)

Ну в смысле если Вы понимаете, что все сепарабельные [бесконечномерные] гильбертовы пространства изоморфны, то не важно Фурье или не Фурье, разумеется

[Ираклий]

RIP в сообщении #274953 писал(а):

Пусть $F$ --- поле, $A$ --- бесконечное множество. Какова размерность $F^A$ над $F$?

Как следует из моей подписи и Теоремы Снейпа ( ), если $|A|\geqslant\mathrm{cf}(|F|)$(в частности, если $|A|\geqslant |F|$), то размерность равна $|F^A|$.

Если же $|A| < \mathrm{cf}(|F|)$, то $|F^A|=|F|$ и теорема Снейпа уже не применима. Если мы сможем в $A$ выбрать $\subset$-цепь непустых подмножеств в количестве $|F|$, то размерность равна $|F|$. А это можно сделать тогда и только тогда, когда $|F| \leqslant 2^{|A|}$.

Остался нерассмотренным такой случай: $|A| < \mathrm{cf}(|F|)$ и $2^{|A|}<|F|$.

[RIP]

Ираклий в сообщении #274967 писал(а):

Если мы сможем в $A$ выбрать $\subset$-цепь непустых подмножеств в количестве $|F|$, то размерность равна $|F|$. А это можно сделать тогда и только тогда, когда $|F| \leqslant 2^{|A|}$.

А можно вот это место поподробнее? Вот берём $|A|=c$, $|F|=2^c$. Здесь утверждается, что существование нужной цепи нельзя доказать или опровергнуть в ZFC. У нас, кстати, в рассматриваемом случае $|F|=|F^A|\ge2^{|A|}$.
Может, в ZFC вообще нельзя ответить на вопрос?

[Ираклий]

RIP в сообщении #274995 писал(а):

А можно вот это место поподробнее?

А в этом месте я, похоже, наврал.
Если цепь существует, то $|F| \leqslant 2^{|A|}$. Если $|F| \leqslant \mathrm{cf}(2^{|A|})$, то цепь существует. Большего я не умею доказывать.

RIP в сообщении #274995 писал(а):

Может, в ZFC вообще нельзя ответить на вопрос?

Как пить дать.
Вот ежели GCH принять...

[RIP]

(Оффтоп)

Ираклий в сообщении #274999 писал(а):

Вот ежели GCH принять...

Не, на фиг. Если в аксиому выбора я безоговорочно "верю" (т. е. она полностью соответствует моему интуитивному представлению о том, "что такое множество"), то в континуум-гипотезу, тем более обобщённую, я категорически не "верю" (т. е. если выбирать между ней и её отрицанием, то я определённо проголосую за последнее: моя интуиция мне подсказывает, что $2^{\aleph_0}\ge\aleph_\omega$ (но умалчивает о точном значении ординала $\alpha$, для которого $2^{\aleph_0}=\aleph_\alpha$)).

Но даже с GCH вроде как непонятно, как быть с ну очень большим полем. Что ж, будем ждать какого-нибудь специалиста по теории множеств (или просто знающего человека), который подкинет нужную ссылку (вопрос-то наверняка исследовался).

[Ираклий]

Ираклий в сообщении #274999 писал(а):

Если $|F| \leqslant \mathrm{cf}(2^{|A|})$, то цепь существует.

Похоже, я и тут наврал. Я и этого вроде как не умею доказывать..... Поторопился я.

[RIP]

Кстати, ещё один интересный вопрос. Верно ли, что размерность зависит только от $|F|$ и $|A|$? Не может ли такого быть, что для разных полей одинаковой мощности получатся разные размерности (понятно, что от $A$ нужна только мощность)?

[Ираклий]

RIP в сообщении #275018 писал(а):

Не может ли такого быть, что для разных полей одинаковой мощности получатся разные размерности (понятно, что от $A$ нужна только мощность)?

(Оффтоп)

Аллах его знает!

Можете привести пример неизоморфных полей одной мощности? Впрочем, я вроде уже и сам могу привести пример: $\mathbb Q(\sqrt{7})$ и $\mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$. А континуальный пример можно привести? (Наверное, можно по каким-нибудь разным неприводимым многочленам по факторизовать.)