Можно ли говорить о том, что последовательность неслучайна?

[PAV]

photon писал(а):

У меня другой вопрос (самому лень считать и проверять): какая из последовательностей с большей вероятностью может встретится в рамках более длинной случайной последовательности? Давайте посмотрим на вероятность появления тех же двух последовательностей из десяти бросаний, но в рамках, скажем, 20-ти бросаний.

Начиная с любого места, но подряд?

[photon]

PAV писал(а):

Начиная с любого места, но подряд?

Да.
Вот беру вариант попроще, который можно просчитать быстро: вероятности появления троек $000$ и $101$ в последовательности из 4-х бросаний, и получаю $\frac {3}{16}$ и $\frac{1}{4}$ соответсвенно, т.е., они не равноправны

[Горьковчанин]

Разница между "серией" и "набором нулей" в том, что длина серии случайна. Серия закончится, когда впервые появится единичка. Разве нет?

[PAV]

photon

Это легко объяснить. Эффект возникает из-за того, что при сдвиге последовательности 000 у нас происходит наложение, а при сдвиге второй - нет.

Из-за этого у нас некоторые последовательности, содержашие 000, считаются несколько раз. Собственно, такая одна 0000. Именно она и дает перевес вероятности в $\frac{1}{16}$

[photon]

Да, если учитывать $0000$ как две различные реализации $000$, то вероятности будут одинаковы, но мы-то их считаем за одну... отсюда и вопрос про вероятности появления коротких цепочек в длинных последовательностях

[Joker90]

photon писал(а):

У меня другой вопрос (самому лень считать и проверять): какая из последовательностей с большей вероятностью может встретится в рамках более длинной случайной последовательности? Давайте посмотрим на вероятность появления тех же двух последовательностей из десяти бросаний, но в рамках, скажем, 20-ти бросаний.

Может, стоит ограничиться вот этим?

[Joker90]

PAV писал(а):

И напишите, пожалуйста, какое издание Феллера у Вас, и с какой страницы Вы взяли формулы, о которых говорите.

Электронное. (дежавю, т. е. djvu со второго издания).
Глава 3, вся.
+
Глава 13, параграф 7

Точно страницу укажу позже - не помню точно.

[PAV]

Ну так и посмотрите внимательнее в главу 3, у меня страница 92:

Цитата:

Каждый путь длины $\rho$ можно интерпретировать как результат некоторого случайного блуждания; имеется $2^\rho$ таких путей и мы приписываем вероятность $2^{-\rho}$ каждому.

[Joker90]

PAV писал(а):

Ну так и посмотрите внимательнее в главу 3, у меня страница 92:

Цитата:

Каждый путь длины $\rho$ можно интерпретировать как результат некоторого случайного блуждания; имеется $2^\rho$ таких путей и мы приписываем вероятность $2^{-\rho}$ каждому.

Тем не менее, вероятность серии ГОРАЗДО меньше, чем НЕ серии.

[PAV]

Joker90 писал(а):

Тем не менее, вероятность серии ГОРАЗДО меньше, чем НЕ серии.

Это неверно. Еще раз повторяю: вероятности всех последовательностей заданной длины одинаковы.

P.S. Я тут не совсем прав. Вероятность какой-нибудь не-серии действительно выше. Но я привел Вам две конкретные последовательности, а они равновероятны.

[PAV]

Посмотрите обсуждение подобного вопроса здесь http://www.mmonline.ru/forum/read.php?f=1&i=4788&t=4788

[Barty]

О случайности/неслучайности последовательности может говорить только методика проведения опыта (а о ней в задаче не сказано). Если все числа получены "из шапки", то можно ответить на вопрос задачи "ДА!", и к тому же оценить вероятность ошибки теоретической оценки.

[Thor.Myth]

По выборке случайность как таковая от неслучайности неотличима. Только в каком-то классе.
Вот по выборке 10101010101010 можно сказать, что она сгенерирована как результат бросания монеты, а может быть это вообще постоянная последовательность, в которой нет никакой случайности.
Поэтому, говоря именно о "случайности" мы должны указывать альтернативу, например, можно оценивать случайность против хаотичности, регрессионности и т.д.

[Руст]

Я считаю, что теста на случайность в принципе не существует и не может существовать. А любые тесты, заранее предполагают последовательности случайными и подчинёнными определённому закону распределения и выбирают значение параметров распределения, как наиболее вероятное для данной реализации.

[worm2]

А задачка-то простенькая. Единственное, до чего нужно было догадаться - то, что она из раздела "Условная вероятность" Нигде в условии не сказано, что какое-то событие независимо от какого-то другого.

Пусть случайное событие A зависит от некоторого случайного события B следующим образом:

P(A|B) = 0.02474, P(A|\overline{B}) = 0.000344,

P(B) = 2/3, причём событие B определяет всю выборку, т.е. для всей выборки событие B либо происходит, либо не происходит.

Последнее условие можеть быть не совсем понятно, поэтому поясню его на примере. Пусть событие B - "сегодня с 13:00 по 14:00 будет дождь". Событие A - "в течение 1 секунды в стакан, стоящий на улице, попадёт как минимум одна капля воды", причём i-е событие выборки - "в промежуток времени с 13:15:00+i секунд по 13:15:00+i+1 секунд в стакан упадёт капля воды". Капля может падать в стакан не только во время дождя, но и например, после дождя с крыши, но вероятность такого события гораздо меньше. Каждая выборка наблюдается в отдельный день, так что для каждой отдельной выборки событие B может происходить, либо нет, но если для одного события выборки событие B (не) произошло, то оно (не) произошло и для любого другого события этой же выборки.

Итак,

P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\overline{B})P(\overline{B}) = 0.02474*2/3 + 0.000344*1/3 = 0.016608, что согласуется с условием.

Далее, если в течение трёх выборок событие B наступает, то в каждой из этих выборок P(A) = P(A|B) = 0.02474, что также замечательно согласуется с условием.

Если предположить, что 3 события B, определяющие наши 3 выборки, независимы, то вероятность того, что в трёх выборках событие B произойдёт, равна (2/3)^3 \approx 0.296. Думаю, в том, что событие, имеющее вероятность 0.29, произошло, нет ничего подозрительного. Хотя если предположить, что события B не независимы, а, в свою очередь, как-то зависят от некоторого события C, то можно поднять и эту вероятность, причём, как мне кажется, и выше 0.5.

Итак, мы построили пример случайного события A, вероятность которого равна 0.016608, в то же время в каждой из 3-х выборок вероятность A вполне может быть равна 0.02474. Поэтому ответ - нет.