Принцип историзма при изучении теории меры

[neverland]

ewert в сообщении #274690 писал(а):

finanzmaster в сообщении #274467 писал(а):

Крайне желательно дать пример неизмеримого множества,

Думаю, что нежелательно -- оно неконструктивно.

Что ж теперь всякую конструкцию для построения которой нужна аксиома выбора совсем не рассматривать? Пример рассмотреть, думаю, можно, с соответствующими пояснениями.

[AD]

Ну я имел ввиду, что он не пример совсем, а безликое доказательство существования. Не, конечно, полезно.

[finanzmaster]

ewert в сообщении #274690 писал(а):

finanzmaster в сообщении #274467 писал(а):

Крайне желательно дать пример неизмеримого множества,

Думаю, что нежелательно -- оно неконструктивно.

Ага, а потом удивляться - чего это студенты каждое множество считают измеримым (ведь других они не видели). К натасканным на формализм студентам-чистым-математикам это, может быть, не относится, но вот финансовых инженеров вполне касается.

А по поводу неконструктивности(аксиомы выбора) - так Хелемский в своем учебнике по функану сказал про нее примерно так - "мы, дорогой читатель, должны уверовать, иначе от большинства доказательств рожки да ножки останутся".

ewert писал(а):

finanzmaster в сообщении #274467 писал(а):

Да, мотивация перед введением интеграла Лебега тоже нужна - предельный переход под знаком интеграла,

Пределы -- бог с ними, а вот что принципиально -- это полнота интегральных пространств.

Не понимаю Вашего пренебрежения к пределу.
Что касается полноты пространств - да, тоже полезное свойство (только т.к. действительный анализ изучается перед функциональным, то не все будут способны оценить)

ewert писал(а):

Да, а мотивировка перехода от меры Жордана к Лебегу очень проста -- мера Жордана не замкнута относительно счётных объединений. Очевидно, что это нехорошо.

Да, тоже аргумент. Но аргументация, что по мере Лебега измеримо гораздо больше множеств, на меня действует более мотивирующе - хотя тут jedem das seine

[ewert]

finanzmaster в сообщении #274801 писал(а):

Не понимаю Вашего пренебрежения к пределу.Что касается полноты пространств - да, тоже полезное свойство

Это не пренебрежение. Просто существует просто жуткое к-во всяческих признаков сходимости, и гоняться за каждым из них, да ещё и выискивая, кто из них эстетичнее -- занятие неблагодарное. Полнота же -- воистину принципиальна.

finanzmaster в сообщении #274801 писал(а):

Но аргументация, что по мере Лебега измеримо гораздо больше множеств, на меня действует более мотивирующе

И вновь. Ну какая разница, сколько множеств по какой схеме измеримы -- шашнадцать с половиной или восемнадцать с половиной. Всё равно все на практике встречающиеся множества измеримы с какой угодно точки зрения. А вот то, что одна конструкция обеспечивает замкнутость теории, а другая не обеспечивает -- это принципиально.

finanzmaster в сообщении #274801 писал(а):

Ага, а потом удивляться - чего это студенты каждое множество считают измеримым

А они правильно считают. Аксиома выбора -- неконструктивна, и принимать следующие из неё выводы или нет -- исключительно дело вкуса, вот и к существованию неизмеримых множеств это тоже относится. Есть ли они, нет ли их -- никакого практического значения не имеет. "Есть ли жизнь на Марсе, нету ли жизни на Марсе..." $\copyright$
(Это ответ и предыдущим 2-м т.т.)

[finanzmaster]

ewert писал(а):

А они правильно считают. Аксиома выбора -- неконструктивна, и принимать следующие из неё выводы или нет -- исключительно дело вкуса...

Как и то, в каком порядке излагать теорию меры и на что обращать внимание. А о вкусах, как известно, не спорят.

Я свой вклад в эту часть дискуссии закончу тем замечанием, что большинству студентов теория меры абсолютно по барабану.
Немецким, кстати, тоже - по крайней мере было до недавнего времени, т.к. курс Analysis III - это теория меры и интеграла + ОДУ, но в преддипломный экзамен входили только ОДУ. (сейчас вроде как правила ужесточились).

Правда потом многие(когда не понимали финансовую математику) - жалели, что пренебрегали теорией меры.
А т.к. немецкие студенты, дошедшие до 3-го семестра, в большинстве своем трудолюбивые и не лишенные способностей - то значит вина не [только] их, а и преподавателей, не сумевших мотивировать и не рассказавших о перспективах дальнейшего применения.

[AD]

ewert в сообщении #274918 писал(а):

Аксиома выбора -- неконструктивна, и принимать следующие из неё выводы или нет -- исключительно дело вкуса, вот и к существованию неизмеримых множеств это тоже относится.

Ну вот я не уверен, что это уже решенный вопрос, можно ли сделать неизмеримое множество без аксиомы выбора. Последний раз слышал, что не решенный. Вдруг еще нарвутся на неизмеримое множество?

-- Чт дек 24, 2009 23:30:32 --

finanzmaster в сообщении #274801 писал(а):

только т.к. действительный анализ изучается перед функциональным, то не все будут способны оценить

Вот это правда. Не могут оценить. Ну я не смог в своё время. Тоже считаю, что привлекательность теории меры прежде всего в мощных формулировках всяких классических теорем. Впрочем, привлекательность - не самое важное, наверное, да?

[Профессор Снэйп]

Тут все Лебег, Жордан... А нам сначала вводили интеграл Ньютона, во! Потом Римана. Потом Лебега. А про Жордана как-то даже и не было ничего

Функция $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ называется интегрируемой по Ньютону, если существует функция $F$, такая что $F'(x) = f(x)$

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #275391 писал(а):

А нам сначала вводили интеграл Ньютона, во!

Это некоторое недоразумение, во. Вышенижеупомянутое определение относится к первообразной, а вовсе не к определённому интегралу, и вещи это -- суть принципиально разные. Сам же Ньютон определял определённый интеграл именно как площадь, т.е. -- вполне "по Риману".

[Профессор Снэйп]

ewert, не путайте. Функция называется интегрируемой по Ньютону, если то, что я написал. А интегралом Ньютона

$$ \int_a^b f(x) dx $$

называется число $F(b)-F(a)$.

Не знаю, определял ли сам Ньютон интеграл подобным образом...

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #275565 писал(а):

Функция называется интегрируемой по Ньютону,

Ну, может, у вас и называлась, а я никогда такого не слышал. Потому, что "интегрируемостью" принято считать существование определённого интеграла, в каком бы то ни было смысле. Считать же определением интеграла формулу Ньютона-Лейбница -- просто нелепость. До тех пор, пока входящий в неё интеграл не определён независимым образом -- это не более чем бессодержательная игра значками. Тем более бессодержательная, что для дифференцируемой всюду функции производная не обязана быть интегрируемой ни по Риману, ни даже по Лебегу.

Сам Ньютон, безусловно, понимал, что в "его с Лейбницем" формуле стоит именно интеграл Римана. Просто он не интересовался вопросом, что в точности означает это понятие.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #275586 писал(а):

Ну, может, у вас и называлась...

А я ни на что большее и не претендую. Методологический ход, не более

[AD]

Цитата:

Считать же определением интеграла формулу Ньютона-Лейбница -- просто нелепость. До тех пор, пока входящий в неё интеграл не определён независимым образом -- это не более чем бессодержательная игра значками. Тем более бессодержательная, что для дифференцируемой всюду функции производная не обязана быть интегрируемой ни по Риману, ни даже по Лебегу.

Эта игра значками называется "дескриптивное определение". То есть еще можно интеграл Лебега на прямой определять через абсолютно непрерывные функции в том же духе, и слово "дескриптивное" означает, что "описывается" класс неопределенных интегралов и свойства производной. Чтобы давать такие определения, надо знать "леммы о монотонности" (типа если производная положительна, то функция монотонна). А "правильные по ewertу" определения еще называют "конструктивными", то есть это где указывается хоть какой-то способ приближенного вычисления интеграла. Почему-то традиционно считается, что Ньютон придумал дескриптивные определения, а Лейбниц - конструктивные. Да, "интеграл Ньютона" - это известное словосочетание. Про всё это см. С.Сакс "Теория интеграла".

А что получаются дикие функции при этом - ну и ничего, некоторые вот это выражают словами "интегралу Лебега есть куда стремиться".

[ewert]

AD в сообщении #275711 писал(а):

Про всё это см. С.Сакс "Теория интеграла".

Не хочу см., это безыдейно. Интеграл (как и синусоида, и даже вообще какая-нибудь квадратичная функция) интересен лишь постольку, поскольку он практически полезен. Т.наз. "интеграл Ньютона" (который, естественно, к самому Ньютону отношения не имеет) -- бесполезен абсолютно, со всех точек зрения. Будь он хоть дескриптивным, хоть деструктивным, и хоть каким -- никакой пользы от него для с/х нет и даже не может предвидеться. Просто игра значками.