Представление числа суммой простых

[juna]

Можно ли доказать, что любое число, кроме (2, 3, 4) есть сумма различных простых чисел.

[Руст]

В доказательстве Виноградова о представлении нечётного числа в виде суммы трёх простых чисел проходит и как сумма различных 3 простых чисел больше 3 для достаточно больших n, тогда чётное число представим как сумму n=3+(n-3)=3+p1+p2+p3 4-х различных простых чисел.

[juna]

Это нижнее ограничение общеизвестно. Интересует верхнее. А в задаче ослабленные требования - идет речь про любое количество различных простых.

[Руст]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Это нижнее ограничение общеизвестно. Интересует верхнее. А в задаче ослабленные требования - идет речь про любое количество различных простых.

Не понял, (интересует верхнее) что это означает. Если речь идёт без ограничения на количество слагаемых, то можно элементарно доказать, что любое число больше 6 представимо в виде суммы не более чем $[log_2(n)]$ различных простых чисел.
Достаточно использовать, что в интервале (n/2,n) имеется простое число.

[juna]

Да, Вы правильно поняли, ограничение на количество слагаемых нет и именно это верхнее ограничение я хотел увидеть.

[Руст]

На самом деле воспользовавшись тем, что в интервале $(x-x^a,x)$ (сейчас уже доказано для a=0.525, достаточно а<1) есть простое число эту оценку можно уменьшить до $O(ln(ln(n))).$

[juna]

Подождите, что-то я засомневался, что данный алгоритм имеет отношение к верхнему ограничению. Рассмотрим на Бертране. Пусть $N$ нужно представить суммой различных простых. Мы знаем, что в промежутке (N/2, N) всегда есть простое, берем самое удаленное от N (чтобы продлить удовольствие) простое $p_1$, фиксируем отставание от $N$, $a_1=N-p_1$. Рассматриваем промежуток $(a_1/2,a_1)$ и т.д. Все хорошо, простые получаем различными. Правда на последней итерации можем получить единицу, но для оценки и этого достаточно.
А теперь Вы говорите, что можно и улучшить оценку, взяв уточнение промежутка, содержащего простое. Этот промежуток, очевидно, короче, значит доберетесь до $N$ за меньшее количество простых. А нам то нужно как можно больше простых в сумме. Вообще этот алгоритм не доказывает, что мы можем представить каждое число суммой некоторого количества различных простых. Вы скажите, что это следствие утверждения, доказанного Виноградовым. Но мне интересно здесь получить доказательство этого следствия без опоры на известный факт о сумме трех простых.
Верхнюю оценку мне видится, нужно искать, аппроксимируя сумму последовательных простых - $\sum\limits_{i=1}^{k_{min}}p_i>N$, и эта оценка неулучшаема, в том смысле, что есть числа равные сумме последовательных простых.

[Руст]

Обычно стараются уменьшить количество слагаемых. Вот я и предложил доказательство того как уменьшить и дать оценку сверху на количество слагаемых без использования теоремы Виноградова.

[juna]

Основная задача - доказать, что любое число, кроме (2, 3, 4) есть сумма различных простых чисел.

[Руст]

Вот и берём на каждом шаге максимальное простое число не превосходящие остатка (вначале N, потом N-p1,N-p1-p2,...) и когда остаток станет меньше 10 проверяем чётности, чтобы остаток не получился 1). Все выбранные простые числа разные.

[juna]

А если на какой-то итерации получили, что есть единственное простое, отстоит на 1 от верхнего диапазона?

[Руст]

В этом случае, остаток меньше 10 (так как в интервале n/2,n) имеется простое, если это единственное и равно n-1, то получим n<10.

[juna]

Не понял. Вот берем число N и на первой же итерации обнаруживаем, что в промежутке (N/2,N) есть единственное простое p=N-1. Ведь мы не доказали, что в промежутке (N/2,N) есть более одного простого, и использовать это априори нельзя.

[Руст]

На самом деле Чебышев доказал более сильное утверждение, которая гарантирует существование простого числа в интервале (n/2,n-7) при n>20.

[juna]

Это спасает рассуждение. А без Чебышева можно доказать?