Сходимость интеграла

[valiko]

Добрый вечер.
Помогите пожалуйста решить задачку:
Исследовать интеграл на условную и абсолютную сходимость при $\alpha \in (-\infty, +\infty)$:

$$\int\limits_0^1 (\sqrt{x} - x)^\alpha \sin{\frac{1}{x}}\,dx$$

$I = \int\limits_1^{+\infty} \left( \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x} \right) \frac{\sin{x}}{x^2}\,dx$
Исследуем на абсолютную сходимость, представив в виде ряда и оценивая его общий член:
$\int\limits_{\pi k}^{\pi + \pi k} \left( \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x} \right) \frac{|\sin{x}|}{x^2}\,dx > \frac{1}{(\pi + \pi k)^2} \frac{(\sqrt{\pi + \pi k} - 1)^\alpha}{(\pi k)^\alpha} \int\limits_{\pi k}^{\pi + \pi k} |\sin{x}|\,dx \sim \frac{C}{k^{2+\frac{\alpha}{2}}}~(\alpha<0)$
т.е. при $\alpha \le -2$ интеграл абсолютно не сходится
$|\left( \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x} \right) \frac{\sin{x}}{x^2}| < \frac{(\sqrt{x} - 1)^\alpha}{x^{2+\alpha}} \sim \frac{1}{x^{2+\frac{\alpha}{2}}}$
т.е. при $\alpha > -2$ сходится абсолютно.
А вот с исследованием на условную сходимость проблемы.

[Полосин]

Воспользуйтесь признаком Абеля-Дирихле - у одного из сомножителей подынтегральной функции существует ограниченная первообразная, а другой монотонно стремится к нулю (при соответствующих значениях параметра).

[valiko]

Оно конечно хорошо, по этому признаку получаем что интеграл сходится при $\alpha > -4$. А что делать при оставшихся $\alpha \le -4$?

[Полосин]

Доказать, что интеграл расходится. Для этого можно проинтегрировать по частям или воспользоваться критерием Коши.