Упругий нецентральный удар и углы

[arseniiv]

Шар сталкивается с другим покоящимся шаром такой же массы. Доказать, что в случае упругого, но не центрального удара угол между направлениями скоростей после удара составляет $\pi / 2$.

Моя загвоздка в том, что только из уравнений закона сохранения импульса

$$v\{ 1 ;\,0\} = u_1 \{ \cos \beta ;\,\sin \beta \} + u_2 \{ \cos \gamma ;\,\sin \gamma \}$$

и энергии

$$v^2 = u_1^2 + u_2^2 $$

не получается ничего путного вывести. Mathematica вообще говорит, что $\beta - \gamma$ может быть любым.

Что-то я упустил или составители задачи (например, подразумевалось $u_1 = u_2$)?

[Maslov]

Наверное, можно как-то так:

Пусть $\vec{v}$ - скорость первого шара до столкновения, $\vec{v_1}, \vec{v_2}$ - скорости после столкновения первого и второго шара, соответственно. Тогда:
Закон сохранения импульса: $m\vec{v} = m\vec{v_1} + m\vec{v_2}$
Закон сохранения энергии: $mv^2 = mv_1^2 + mv_2^2$
Сокращая массы и умножая первое уравнение скалярно само на себя, получаем:
$ \left\{ \begin{array}{l} v^2 = v_1^2 + 2 \vec{v_1} \vec{v_2} + v_2^2 \\ v^2 = v_1^2 + v_2^2 \end{array} \right. $
Сравнивая первое и второе уравнения, заключаем, что $\vec{v_1}\vec{v_2} = 0$, т.е., вектора ортогональны.

[arseniiv]

А почему просто так не выходит, не знаете?
Да, ваше доказательство хорошее и быстрое!

[whiterussian]

arseniiv
Вы забыли расписать покомпонентное сохранение импульса. В ваших обозначениях (если я их правильно поняла):
$v=u_1\cos\beta+u_2\cos\gamma$, $0=u_1\sin\beta-u_2\sin\gamma$

[arseniiv]

Ну, это-то да. Но оно почему-то мне ничего не дало...

[whiterussian]

Возведите оба выражения в квадрат, перенеся один из членов во втором налево. Затем сложите два уравнения. Используя ваше второе выражение (которое следует из сохранения энергии) вы увидите, что $\beta+\gamma=\pi /2$

[arseniiv]

Спасибо! Но я уже сделал первым способом.

[arseniiv]

Задам-ка ещё вопросик.

Я ведь правильно понимаю, что матем. маятник будет иметь период $T = 2\pi \sqrt {l/\sqrt {g^2 + a^2 } }$, если к нему приложено горизонтальное ускорение? (Опять боюсь каких-нибудь незамеченных деталей.)

[meduza]

arseniiv
Да. (При малых отколнениях, конечно.)

[arseniiv]

Ну, так формула и с "просто $g$" справедлива при том же. Просто сомневался, там ответ выбивается из ряда подобных. Подумал, неужели так сильно различаются ускорения, но до сих пор не посчитал.

-- Вт дек 22, 2009 20:01:50 --

Математический маятник длиной $l$ = 1 м подвешен к потолку кабины <...>. Определить: <...> 2) период $T_4$ гармонических колебаний маятника при движении точки подвеса в горизонтальном направлении с ускорением $a_4 = g/4$. Ответ: <...> $T_4$ = 0,621 с.
У меня же вышло 2,04 с. Может, они решили двигать лифт в космосе?

[arseniiv]

Ну, там я пока так оставил, как у себя. Потому что ответ действительно какой-то странный, другие на полпорядка больше все.

[arseniiv]

Что же делать с несхождением ответов?

[ewert]

Вообще-то оба ответа неправильны, но Ваш -- ближе к правильному. $T_0=2\pi\sqrt{l\over g}\approx2.005$ (поскольку ${\pi^2\over g}\approx{9.86\over9.81}\approx1.005$). После добавления горизонтальной составляющей общее ускорение увеличится в $\sqrt{1+{1\over4^2}}\approx(1+{1\over32})$ раз; соотв., период уменьшится в примерно $(1+{1\over64})$ раза, т.е. на абсолютную величину порядка $0.03$.

[arseniiv]

Наверно, они цифру перепутали или что-нибудь ещё в этом роде.