Произведение элементов из поля GF

[Gilb007]

Всем привет!

Встретилась задачка:

$$\sum_{i_1\neq i_2 \neq i_3 \neq i_4} \alpha_{i_1}\cdot \alpha_{i_2} \cdot \alpha_{i_3} \cdot \alpha_{i_4}$$

где $\alpha_{i} \in \mathbb{GF}(2^{10})$

Посчитать надо чему ровняется эта сумма.
Рассмотрим несколько простых вариантов поля Галуа.Во всех случая положим,что $\gamma$ -образующий элемент мультипликативной группы.
Мы не знаем примитивен ли неприводимый многочлен степени $n$,поэтому я и положил просто $\gamma$ (т.е я не знаю $\gamma=x$ или $\gamma=x+1$,т.к не дан вид неприводимого многочлена степени 10 )

1.$\gamma_{i} \in \mathbb{GF}(2^{3})$, тогда ${0}\cdot {1} \cdot \gamma^{1} \cdot \gamma^{2} + \gamma^{3}\cdot \gamma^{4} \cdot \gamma^{5} \cdot \gamma^{6}= \gamma^{18}= \gamma^{4}$

2.$\gamma_{i} \in \mathbb{GF}(2^{4})$, тогда ${0}\cdot {1} \cdot \gamma^{1} \cdot \gamma^{2} + \gamma^{3}\cdot \gamma^{4} \cdot \gamma^{5} \cdot \gamma^{6} + \gamma^{7}\cdot \gamma^{8} \cdot \gamma^{9} \cdot \gamma^{10} + \gamma^{11}\cdot \gamma^{12} \cdot \gamma^{13} \cdot \gamma^{14}= \gamma^{3} + \gamma^{4} + \gamma^{5}$

3.$\gamma_{i} \in \mathbb{GF}(2^{5})$, тогда ${0}\cdot {1} \cdot \gamma^{1} \cdot \gamma^{2} + \gamma^{3}\cdot \gamma^{4} \cdot \gamma^{5} \cdot \gamma^{6} + \gamma^{7}\cdot \gamma^{8} \cdot \gamma^{9} \cdot \gamma^{10} + \gamma^{11}\cdot \gamma^{12} \cdot \gamma^{13} \cdot \gamma^{14}+...= $
${0} + \gamma^{18} + \gamma^{34} + \gamma^{50} + \gamma^{66} + \gamma^{82} + \gamma^{98} + \gamma^{114}= \gamma^{18} + \gamma^{3} + \gamma^{19} + \gamma^{4} + \gamma^{20} + \gamma^{5} + \gamma^{21}$
.......
8. $\gamma_{i} \in \mathbb{GF}(2^{10})$.В итоге получается формула:

$$(\sum_{j=0}^{254} \gamma^{(18+16 \cdot j)})(mod \_ 1023)$$

Вопрос 1.
Подскажите пожалуйста,чему бы могла равняться эта формула?Как можно упростить,какая закономерность?

Вопрос2.
При решении задач на конечные поля встречал только такой вид примитивного элемента,а именно $\gamma=x$ или $\gamma=x+1$.Есть ли другой вид этого примитивного элемента или можно точно утверждать,что он имеет только такой вид?

[Профессор Снэйп]

Gilb007 в сообщении #273651 писал(а):

Всем привет!

Встретилась задачка:

$$\sum_{i_1\neq i_2 \neq i_3 \neq i_4} \alpha_{i_1}\cdot \alpha_{i_2} \cdot \alpha_{i_3} \cdot \alpha_{i_4}$$

где $\alpha_{i} \in \mathbb{GF}(2^{10})$

Посчитать надо чему ровняется эта сумма.
Рассмотрим несколько простых вариантов поля Галуа.Во всех случая положим,что $\gamma$ -образующий элемент мультипликативной группы.
Мы не знаем примитивен ли неприводимый многочлен степени $n$,поэтому я и положил просто $\gamma$ (т.е я не знаю $\gamma=x$ или $\gamma=x+1$,т.к не дан вид неприводимого многочлена степени 10 )

1.$\gamma_{i} \in \mathbb{GF}(2^{3})$, тогда ${0}\cdot {1} \cdot \gamma^{1} \cdot \gamma^{2} + \gamma^{3}\cdot \gamma^{4} \cdot \gamma^{5} \cdot \gamma^{6}= \gamma^{18}= \gamma^{4}$
...

Что-то маловато у Вас слагаемых. Где, например, слагаемое $\gamma^1 + \gamma^3 + \gamma^5 + \gamma^7$ и т. д?

[Sonic86]

Че-то я не совсем уверен
$\gamma$ - примитивный, в смысле - образующая мультипликативной группы?
Если да, то попробуйте рассмотреть

$$\sum\limits_{i_j \text{различны}} (\gamma \alpha_{i_1})(\gamma \alpha_{i_2})(\gamma \alpha_{i_3})(\gamma \alpha_{i_4})$$

[Профессор Снэйп]

Sonic86 в сообщении #273669 писал(а):

Че-то я не совсем уверен

Да не, нормально. Отображение $a \mapsto \gamma a$ --- перестановка элементов поля, так что сумма при домножении на $\gamma^4$ не меняется. Значит...

[Gilb007]

Цитата:

Что-то маловато у Вас слагаемых. Где, например, слагаемое $\gamma^1 + \gamma^3 + \gamma^5 + \gamma^7$ и т. д?

Т.е Вы хотите сказать,что для поля $\mathbb{GF}(2^{3})$ мне нужно рассмотреть все такие слагаемые ,которые являются как произведение всевозможных 4-х элементов из 8-ми?Не совсем понял откуда еще возьмутся эти слагаемые.

Цитата:

$\gamma$ - примитивный, в смысле - образующая мультипликативной группы?

Да

Цитата:

Отображение $a \mapsto \gamma a$ --- перестановка элементов поля, так что сумма при домножении на $\gamma^4$ не меняется.

При прояснение ситуации с количеством слагаемых может и станет понятны данные факты,по-любому должна быть какая-то закономерность..Почему именно $\gamma^4$?

Цитата:

Значит...

Вот это самое интересное

[Sonic86]

Gilb007 писал(а):

Вот это самое интересное

Ну Вы хоть напишите, что у Вас получилось при рассмотрении суммы. Там очень просто. И для многих других симметрических многочленов будет то же самое

[Gilb007]

спасибо Вам,с задачей разобрался