2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Принцип историзма при изучении теории меры
Сообщение20.12.2009, 13:10 
Аватара пользователя
Программа изучения теории меры на моем факультете составлена так:
1) Мера Жордана, свойства меры Жордана, примеры множеств неизмеримых по Жордану
2) Мера Лебега как расширение понятия меры Жордана и тд...
Стала свидетелем спора между двумя преподавателями по поводу правильности и целесообразности такого порядка изложения. С одной стороны, исторически процесс продвигался именно так, но с другой можно начать с изучения $\sigma$-алгебр и абстрактных мер, что, как говорилось, логичнее и правильнее, а меру по Жордану привести как небольшой "архаичный пример".

Интересно узнать ваше мнение :roll:

 
 
 
 Re: Принцип историзма при изучении теории меры
Сообщение20.12.2009, 13:23 
Без Жордана начинать Лебега нехорошо. Дело в том, что конструкция Лебега -- довольно неочевидна, в отличие от конструкции Жордана. И если вводить сразу Лебега, не показав вначале (не обязательно во всех тонкостях, хотя бы вчерне) Жордана и его недостатки -- будет непонятно, зачем такая экзотика.

 
 
 
 Re: Принцип историзма при изучении теории меры
Сообщение20.12.2009, 15:11 
 !  Перенёс в "Вопросы преподавания".


-- Вс дек 20, 2009 15:13:09 --

neverland в сообщении #273278 писал(а):
с другой можно начать с изучения $\sigma$-алгебр и абстрактных мер, что, как говорилось, логичнее и правильнее, а меру по Жордану привести как небольшой "архаичный пример".
Я это так и изучал, и поддерживаю; мера Жордана всё равно никому не нужна, чего её учить?
Тут на самом деле есть еще более широкий холивар - зачем интеграл Римана, когда есть интеграл Лебега.

 
 
 
 Re: Принцип историзма при изучении теории меры
Сообщение20.12.2009, 15:20 
AD в сообщении #273341 писал(а):
Тут на самом деле есть еще более широкий холивар - зачем интеграл Римана, когда есть интеграл Лебега.

затем, что интегралы не только математикам нужны, но и физикам, к примеру. А для них интеграл -- это в первую очередь Римана, и уж только потом всяческая заумь (да и далеко не всем физикам последняя нужна, и даже кому она формально нужна -- обычно её гордо игнорируют)

AD в сообщении #273341 писал(а):
Я это так и изучал,

Между прочим, совершенно напрасно Вы так уж в этом уверены. Вы ведь худо-бедно площадь с объёмом в школе-то проходили, да?... Ну так это и был Жордан.

 
 
 
 Re: Принцип историзма при изучении теории меры
Сообщение20.12.2009, 16:22 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #273352 писал(а):
Между прочим, совершенно напрасно Вы так уж в этом уверены. Вы ведь худо-бедно площадь с объёмом в школе-то проходили, да?... Ну так это и был Жордан.

Не совсем так. Обычно в школьных учебниках геометрии темы "Площадь" и "Объем" начинаются примерно так: "Будем считать, что все рассматриваемые нами (фигуры) тела имеют площадь(объем) -- это число с такими-то свойствами", что как бы предполагает все множества измеримыми.
AD в сообщении #273341 писал(а):
Тут на самом деле есть еще более широкий холивар - зачем интеграл Римана, когда есть интеграл Лебега.
Многие студенты (я в их числе) при первом знакомстве с интегралом Лебега бывают приятно удивлены простотой и логичностью введенной конструкции (как раз зауми не получается). У нас на третьем курсе изучают и возникают вопросы типа: "А чего этого раньше не было?". Интересно бы получилось: на первом курсе изучать теорию меры и интеграл Лебега, а затем уже все остальное. Хотя может такие программы уже есть? Да и можно ли обосновать методически такую необходимость?
ИМХО, все это должно быть из серии вечных вопросов по поводу дедуктивного или индуктивного метода

 
 
 
 Re: Принцип историзма при изучении теории меры
Сообщение20.12.2009, 16:49 
neverland в сообщении #273380 писал(а):
Многие студенты (я в их числе) при первом знакомстве с интегралом Лебега бывают приятно удивлены простотой и логичностью введенной конструкции (как раз зауми не получается).

Собственно, разница между обоими товарищами очень проста.

Тов. Жордан предлагает приблизить множество и изнутри, и извне некими прямоугольниками. И это естественно, и это вполне отвечает здравому смыслу. (Правда, там потом возникают довольно неприятные эффекты, но это -- потом, потом).

Тов. же Лебег предлагает приближать снаружи как и раньше, в общем, но вот изнутри -- зачем-то через дополнения. И это априори совсем непонятно (если незнаком с теми спецэффектами, конечно): а с какой стати, собссно?...

 
 
 
 Re: Принцип историзма при изучении теории меры
Сообщение20.12.2009, 16:52 
neverland в сообщении #273380 писал(а):
Не совсем так. Обычно в школьных учебниках геометрии темы "Площадь" и "Объем" начинаются примерно так: "Будем считать, что все рассматриваемые нами (фигуры) тела имеют площадь(объем) -- это число с такими-то свойствами", что как бы предполагает все множества измеримыми.
Не совсем так. В школе просто отдельно определяется, что такое площадь прямоугольника и площадь круга, ну и еще, быть может, нескольких фигурок. А площадь вообще не определяется вообще. Похоже? :roll:
А доказать, что это было "по Жордану", никто не сможет, потому что всё, что по Жордану - и по Лебегу тоже. Вряд ли у кого-нибудь в школе определялась площадь множества рациональных точек единичного квадрата. :roll:

 
 
 
 Re: Принцип историзма при изучении теории меры
Сообщение20.12.2009, 17:06 
AD в сообщении #273397 писал(а):
А доказать, что это было "по Жордану", никто не сможет,

А я и не возьмусь -- доказывать. Главное, что это определялось через прямоугольнички (ну или через многоугольнички, что эквивалентно, пусть это формально и не обосновывалось). Главное -- что формально или неформально, но был это -- именно Жордан.

 
 
 
 Re: Принцип историзма при изучении теории меры
Сообщение20.12.2009, 17:29 
neverland в сообщении #273380 писал(а):
Интересно бы получилось: на первом курсе изучать теорию меры и интеграл Лебега, а затем уже все остальное. Хотя может такие программы уже есть?

Мне известна одна подобная попытка. Результаты достаточно плачевные - такой подход создает огромные трудности даже для будущих математиков, а для прикладников он попросту невозможен.

 
 
 
 Re: Принцип историзма при изучении теории меры
Сообщение20.12.2009, 17:46 
ewert в сообщении #273401 писал(а):
Главное, что это определялось через прямоугольнички (ну или через многоугольнички, что эквивалентно, пусть это формально и не обосновывалось).
Ну так и Лебег ничуть не меньше через прямоугольнички.

-- Вс дек 20, 2009 18:00:15 --

Ладно, тут какая-то глупая дискуссия выходит. Давайте я вот что расскажу лучше.

1. Ну меня на самом деле так учили. В четвертом семестре одновременно шло:
- Математический анализ: Кратные и криволинейные интегралы Римана, мера Жордана.
- т.н. "Действительный анализ": Теория интеграла Лебега, и, соответственно, мера Лебега. Мера Жордана дается с пометкой "устаревшее".
- Теория вероятностей, где зачем-то еще раз излагают теорию меры и интеграла Лебега, более бегло и на другом языке.

2.
neverland в сообщении #273380 писал(а):
Интересно бы получилось: на первом курсе изучать теорию меры и интеграл Лебега, а затем уже все остальное. Хотя может такие программы уже есть?
Ну собственно не совсем это, то есть совсем не это, но вроде в тему: запасаетесь валерьянкой, заходите на один дружественный нам сайт, там "[2] Лукашенко Т.П." (они не любят прямых ссылок на их файлы, говорят, что быстро портятся).

 
 
 
 Re: Принцип историзма при изучении теории меры
Сообщение20.12.2009, 18:19 
Фантом в сообщении #273418 писал(а):
Мне известна одна подобная попытка. Результаты достаточно плачевные - такой подход создает огромные трудности даже для будущих математиков, а для прикладников он попросту невозможен.

+1

AD в сообщении #273435 писал(а):
Ну так и Лебег ничуть не меньше через прямоугольнички.

Гораздо менее: он -- через дополнения к прямоугольничкам, причём в счётном количестве, что само по себе, разумеется, прекрасно, но -- гораздо абстрактнее.

 
 
 
 Re: Принцип историзма при изучении теории меры
Сообщение20.12.2009, 18:58 
Аватара пользователя
AD в сообщении #273435 писал(а):
Ну собственно не совсем это, то есть совсем не это, но вроде в тему: запасаетесь валерьянкой, заходите на один дружественный нам сайт, там "[2] Лукашенко Т.П." (они не любят прямых ссылок на их файлы, говорят, что быстро портятся).

Посмотрела оглавление, обнаружила много новых фамилий. Пойду за валерьянкой :|
Тут наткнулась на веселую презентацию. Тут уж точно ничего абстрактного нету, только наглядность (Riemann versus Lebesgue) http://demonstrations.wolfram.com/RiemannVersusLebesgue/

 
 
 
 Re: Принцип историзма при изучении теории меры
Сообщение20.12.2009, 21:06 
Тут ведь ещё и методические соображения роль играют. Именно ими, скорее всего, такой порядок обусловлен.

 
 
 
 Re: Принцип историзма при изучении теории меры
Сообщение23.12.2009, 19:01 
neverland в сообщении #273278 писал(а):
Программа изучения теории меры на моем факультете составлена так:
1) Мера Жордана, свойства меры Жордана, примеры множеств неизмеримых по Жордану
2) Мера Лебега как расширение понятия меры Жордана и тд...
Стала свидетелем спора между двумя преподавателями по поводу правильности и целесообразности такого порядка изложения. С одной стороны, исторически процесс продвигался именно так, но с другой можно начать с изучения $\sigma$-алгебр и абстрактных мер, что, как говорилось, логичнее и правильнее, а меру по Жордану привести как небольшой "архаичный пример".
Интересно узнать ваше мнение :roll:


О, какая близкая мне тема! :)
Считаю, что меру Жордана упоминать нужно - но бегло, не тратя на нее много времени.
Но вот начинать меру Лебега с абстрактных сигма-алгебр и мер - не приведи Господь. Сколько наблюдал примеров - если человек - не чистый математик, то после такого подхода в башке у него не отложится ничего, даже если в свое время он все добросовестно вызубрил. Потому что конструкция Каратеодори изящная - но, по крайней мере, сперва совершенно непонятно, откуда ноги растут. Математики, которые будут специализироваться в этой области потом, конечно, поймут, но теория меры нужна не только им а, среди прочих, и финансовым инженерам.

Я считаю, что начинать надо с меры на отрезке (0,1) - так, как это делал сам Лебег. Обязательно пояснить, что наша цель - разумно приписать понятие длины ("хорошо" определенной для отрезков) возможно большему числу множеств. Показать, что совокупность отрезков образует полукольцо. Дальше - стандартный процесс лебеговского распространения меры с полукольца на сигма-алгебру, обязательно дать пример "плохого" выбора внутренней меры (как у меня здесь на стр. 13).
Крайне желательно дать пример неизмеримого множества, а также множества из лебеговской, но не борелевской сигма-алгебры. Уделить достаточно времени канторову дисконтиниуму.
В общем, мне кажется, надо не жалеть времени на разбор меры на прямой и плоскости - ибо там есть хоть какая-то наглядность и много конкретных приложений. И по ходу дела акцентировать внимание на "естественно" возникающие понятия, такие как полукольцо, сигма-алгебра, внешняя мера. И только после этого переходить к мерам на абстрактных множествах - причем эту тему можно будет изучить быстро, ведь студенты уже будут видеть знакомые конструкции.

Да, мотивация перед введением интеграла Лебега тоже нужна - предельный переход под знаком интеграла, изменения порядка интегрирования - естественно, с примерами.

 
 
 
 Re: Принцип историзма при изучении теории меры
Сообщение24.12.2009, 09:14 
finanzmaster в сообщении #274467 писал(а):
Крайне желательно дать пример неизмеримого множества,

Думаю, что нежелательно -- оно неконструктивно.

finanzmaster в сообщении #274467 писал(а):
Да, мотивация перед введением интеграла Лебега тоже нужна - предельный переход под знаком интеграла,

Пределы -- бог с ними, а вот что принципиально -- это полнота интегральных пространств.

Да, а мотивировка перехода от меры Жордана к Лебегу очень проста -- мера Жордана не замкнута относительно счётных объединений. Очевидно, что это нехорошо.

 
 
 [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group