Представить в виде ряда интеграл

[Gaichka]

Задача такая надо доказать, что ∫$x^-^x$=∑$n^-^n$
не знаю как правильней это здесь написать,вобщем: интеграл в пределах от 0 до 1, сумма ряда по n от 1 до +бесконечности

$$ \int\limits_0^1 x^{-x} dx =\sum\limits_{n=1}^\infty n^{-n}.\eqno(AKM)$$

Нашла подобную задачу в учебнике Фихтенгольца,но там такое её объяснение,что мне требуется дальнейшее)
Допустим мы представили $x^-^x$ как $e^-^x^l^n^x$ потом разложили е в ряд,но в ряд по е мы расскладываем от 0 (а мне надо от 1)
Можете мне фразу объяснить после разложения в ряд e:
считаем,что f(0)=$limx^-^x$=1(при x->0+0),если h(x)=$x^n$
$ln^nx$) (n>=1), то h(0)=limh(x)=0 (при х->0+0) тогда полученный ряд сходится в промежутке 0<x<=1 равномерно, ибо максимум функции |xlnx| есть 1/e => данный ряд мажорируется рядом (я не буду писать ряды,т.к. не знаю как здесь вставить формулу,а так очень громоздко,впрочем они не сложные и там все понятно)
Поэтому допустимо почленное интегрирование.....
дальше пример тоже понятен,но вот про эти пределы и почему рассматриваем максимум именноо этой функции объясните кто-нибудь пожалуйста,и если сможете до понедельника,а то этот пример у меня в курсовой работе и в понедельник уже защита,заранее всем благодарна!
надеюсь понятно объяснила,что мне требуется!

$$f(0)=\lim_{x\to 0+0} x^{-x}=1;  \qquad  \max |x \ln x| = \frac{1}{e};$$

$$f(0)=\lim_{x\to 0+0} x^{-x}=1; \qquad \max |x \ln x| = \frac{1}{e};$$

[Полосин]

1. Исправьте формулы в соответствии с требованиями форума.
2. Разложите экспоненту в ряд.
3. Каждый из получившихся интегралов сведите к гамма-функции заменой $\ln x=-t/n$.
P.S. Ряд сходится равномерно по признаку Вейерштрасса, поэтому возможно его почленное интегрирование.

[Gaichka]

Разложив е в ряд получим $\sum(-1)^nx^n \ln^n x/n!$
и где тут "каждый из получившихся интегралов"? и что такое гамма-функция?

[Полосин]

Интегралы появляются при почленном интегрировании (см. левую часть формулы). Что такое гамма-функция, прочтите в любом учебнике по математическому анализу (а еще лучше - по ТФКП).

[AKM]

Gaichka в сообщении #273150 писал(а):

и что такое гамма-функция?

Боюсь, участникам форума, знающим эту страшную тайну, будет лень переписывать справочники-учебники. Не могли бы Вы сами их малость почитать?
Есть, конечно, надежда, что кто-нибуть не поленится Вам её популярно представить.

Позволил себе слегка поправить запись Ваших формул.

[ewert]

Откроем сию тайну: $\displaystyle \Gamma(z)\equiv\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$. И, в частности, $\Gamma(n+1)=n!$.

Каждое слагаемое в последней сумме при интегрировании сведётся именно к этому, после замены логарифма на $t$ ну и ещё чуть-чуть.

[Gaichka]

Спасибор огромное,решила сию задачу,надеюсь примут!=)
Надеюсь поможете с ещё одной,её в новуютему кину