Линейная алгебра

[MMyaf]

Пусть $e_1, e_2, e_3$ - ортонормированный базис в $\mathbb R^3$, a $a_1, a_2, a_3$ - векторы единичной длинны.
Доказать, что если $(a_1,e_1)+(a_2,e_2)+(a_3,e_3) > \sqrt{6}, то векторы $a_1, a_2, a_3$ линейно независимы.

[worm2]

Попробую геометрически доказать.
Будем доказывать от противного. Пусть $a_1$, $a_2$, $a_3$ лежат в одной плоскости. Пусть $\alpha_i$ --- углы между $e_i$ и этой плоскостью. Поскольку эти углы будут минимальными для всех векторов, лежащих в этой плоскости, а функция косинуса строго убывает от 0 до $\pi$, то ($a_i$, $e_i$) = cos($a_i$, $e_i$) $\leqslant\cos\alpha_i$, откуда по условию $\sum\cos\alpha_i > \sqrt{6}$.

Пусть теперь $\beta_i$ --- углы между $e_i$ и нормалью к нашей плоскости. Очевидно, $\beta_i$=$\pi/2-\alpha_i$ и $\cos^2\alpha_i$ = 1 - $\cos^2\beta_i$. По теореме Пифагора $\sum\cos^2\beta_i$=1, откуда $\sum\cos^2 \alpha_i$=2.

Пользуясь неравенством $\sum\limits_{i=1}^3(p_i-p_j)^2 \geqslant 0$ (j = 1 + i mod 3), которое можно преобразовать в $\left(\sum\limits_{i=1}^3 p_i\right)^2 \leqslant 3\sum\limits_{i=1}^3 p_i^2$, получаем (положив $p_i=\cos\alpha_i$): $\left(\sum\cos \alpha_i \right)^2$ $\leqslant$ $3\sum\cos^2\alpha_i$=6, что противоречит полученному неравенству $\sum\cos\alpha_i > \sqrt{6}$. Уйди, праативный

[Руст]

Можно заметить, что оценка точная. Если $a_i=\frac{e_i+e_{i+1}}{\sqrt 2 }, e_4=e_1$, то имеется точное равенство.

[Edward_Tur]

Когда закончился хоккейный турнир (в один круг), оказалось, что для любой группы команд можно найти команду (может быть, из этой же группы), которая набрала в играх с командами этой группы нечётное число очков. Докажите, что в турнире участвовало чётное число команд. (Поражение – 0 очков, ничья – 1 очко, выигрыш – 2 очка).
Источник: VI Всесоюзная МО

[RIP]

Edward_Tur в сообщении #273283 писал(а):

Когда закончился хоккейный турнир (в один круг), оказалось, что для любой группы команд можно найти команду (может быть, из этой же группы), которая набрала в играх с командами этой группы нечётное число очков. Докажите, что в турнире участвовало чётное число команд. (Поражение – 0 очков, ничья – 1 очко, выигрыш – 2 очка).

Рассмотрим матрицу $A=(a_{i,j})_{i,j=1}^n$ над полем $\mathbb F_2$ с элементами

$$a_{i,j}=\begin{cases}1,&\text{если команды $i$ и $j$ сыграли вничью;}\\0&\text{иначе.}\end{cases}$$

Тогда условие задачи переформулируется так. Для любого ненулевого вектора $x\in\mathbb F_2^n$ найдётся $i\in\{1,2,\ldots,n\}$, что $\sum_{j=1}^na_{i,j}x_j=1$. Другими словами, матрица $A$ невырождена. С другой стороны, она кососимметрическая, поэтому $n$ чётно.

[Edward_Tur]

В множестве $E$, состоящем из $n$ элементов, выделены $m$ различных подмножеств (отличных от самого $E$) так, что для любых двух элементов множества $E$ существует единственное выделенное подмножество, содержащее оба элемента. Докажите неравенство: $m\geq n$.
Источник: Н.Бурбаки

[RIP]

Было.

[Edward_Tur]

Даны два тригонометрических многочлена $P(t)$ и $Q(t)$. Доказать, что существует такой ненулевой многочлен $R(x, y)$, что $R(P(t), Q(t))$=0.
Фольклор.

[RIP]

Пусть их порядки не превосходят $n$. Рассмотрим триполиномы $P(t)^\alpha Q(t)^\beta$, где $0\le\alpha,\beta\le N-1$. Они принадлежат пространству тригполиномов порядка $\le2n(N-1)$, размерность (над $\mathbb C$) которого $4n(N-1)+1$. Поскольку их количество $N^2>4n(N-1)+1$ при достаточно большом $N$, то они линейно зависимы.

[Edward_Tur]

Доказать, что определитель квадратной матрицы с элементами $a_{i,j}$ равен 1, где $a_{i,j}$ - количество общих делителей чисел $i$ и $j$.
Фольклор.

[RIP]

Рассмотрим верхнетреугольную матрицу $A=(\delta_i(j))$, где

$$\delta_i(j)=\begin{cases}1,&i|j;\\0&\text{иначе.}\end{cases}$$

Тогда надо найти $\det(A^TA)=(\det A)^2=1$.