2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача по геометрии
Сообщение20.12.2009, 09:11 
Добрый день!
Помогите, пожалуйста, решить или хотя бы дайте наводку на решение следующей задачи:
Дан равнобедренный треугольник АВС, угол АВС прямой. На стороне АС находятся точки М и Н так, что $AM^2 + HC^2 = MH^2$
Надо найти угол МВН.
Спасибо.

 
 
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение20.12.2009, 11:56 
Через т. М проведите прямую, параллельную АВ, через т. Н - прямую, параллельную ВС.
Обозначьте точку пересечения этих прямых через O и докажите, что OM=OH=OB, следовательно, они являются радиусами описанной окружности треугольника BMH.

 
 
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение20.12.2009, 11:57 
Условие задачи не запрещает нам считать $AM=HC$.Приняв это равенство, найдите длину отрезка $AH$.

 
 
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение20.12.2009, 13:21 
Аватара пользователя
Я по-другому решал.

(Оффтоп)

Изображение

Обозначил $AM=x$, затем через него потихоньку находил другие отрезки и дошел до $\tg \angle HBC$ и, наконец, до искомого угла. Правда долго и муторно. У Батороева более разумное решение.

 
 
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение20.12.2009, 14:45 
Решение поняла,но доказать что OM=OH=OB,не могу!!!

 
 
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение20.12.2009, 16:11 
Аватара пользователя
Изображение

Докажите, что $\triangle BLO = \triangle MOK$ ($BL=\dfrac {AM} {\sqrt 2}, MK=...$).

 
 
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение20.12.2009, 19:07 
а кто-нибудь подскажет путь попроще

 
 
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение20.12.2009, 21:12 
Найдите длину отрезка $AH$ и затем докажите,что треугольник $ABH$ подобен треугольнику $BMH$.

 
 
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение20.12.2009, 21:21 
meduza
Добрый вечер!

>Докажите, что $\triangle BLO = \triangle MOK$ ($BL=\dfrac {AM} {\sqrt 2}, MK=...$).

Никак не соображу, как доказать равенство катетов. Подскажите поподробнее, пожалуйста.

 
 
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение20.12.2009, 22:24 
Аватара пользователя
gulya98
Насчет $BL=\dfrac {AM} {\sqrt 2}$ понятно? Далее смотрим на $\Delta MOH$: $MH^2=MO^2+MH^2=AM^2+HC^2$, в силу симметрии $AM=HC=MO=OH$. Далее в $\Delta MOK$ выражаем $MK=\dfrac {MO} {\sqrt 2} = BL$, значит $\Delta BOL=\Delta MOK$ по углам и стороне. Далее описываем окружность и т.д.

 
 
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение21.12.2009, 07:14 
gulya98 в сообщении #273322 писал(а):
Решение поняла,но доказать что OM=OH=OB,не могу!!!

Продлите ОМ до пересечения с ВС - т. F, ОН - до пересечения с АВ в т. D.
ОВ - диагональ прямоугольника DBFO, ее длина считается легко. Длина ОМ и ОН - еще легче.

 
 
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение21.12.2009, 10:04 
Аватара пользователя
gulya98 в сообщении #273476 писал(а):
а кто-нибудь подскажет путь попроще
Уберите с рисунка всё лишнее.
Тр-к BHC поверните вокруг вершины B против часовой стрелки на 90 градусов.

 
 
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение21.12.2009, 10:46 
Всем большое спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group