Транзитивный коллапс vs. Нестандартная арифметика

[Ираклий]

Я несколько запутался: у меня две известные вещи вошли в противоречие друг с другом.
-------------------------------
Теорема 1. (ZFC) Если есть модель у ZFC, то есть такая модель (М, Е), что для некоторого $c\in M$, являющегося натуральным числом в M, множество $ext_E(c) = \{x\in M | xEc\}$ является бесконечным.
Эта теорема о нестандартной арифметике, но применительно не к PA, а к ZFC. Доказывается так же, как и для PA - через теорему компактности.
-------------------------------
Теорема 2. (ZFC) Для любой пары (M,E), где Е - вполне фундированное отношение на М, существует транзитивное множество Т, такое, что (М, Е) изоморфно (Т, $\in$).
Это - теорема Мостовского о транзитивном коллапсе.
-------------------------------
А противоречие вот в чем:
1) Пусть (М, Е) такое, как утверждается в Теореме 1. Тогда E вполне фундировано.
2) Построим соответствующее множество T. В нем, значит, тоже найдется натуральное число (в смысле Т), которое является бесконечным множеством с внешней точки зрения.
3) Но стоп! Для транзитивного множества понятие "быть натуральным числом" абсолютно. Т.е. любое натуральное число в смысле Т является таковым на самом деле (с внешней точки зрения). Но тогда у нас есть бесконечное натуральное число, пришли к противоречию.

В чем ошибка? Может, я с теоремами что напутал или с этим рассуждением?

[Профессор Снэйп]

Напомните, пожалуйста, определение "вполне фундированности". Я знаю, что такое фундированное отношение (частичный порядок, в котором каждое непустое подмножество имеет минимальный элемент или, что эквивалентно (с аксиомой выбора) - частичный порядок без бесконечной убывающей цепи) и отношение вполне упорядочивания (фундированное отношение со свойством линейности). А вполне фундированности я не знаю. Хотя подозреваю, что это то же самое, что просто фундированность.

С теоремой 1 не совсем понятно. Вот эта модель $\langle M, E \rangle$ --- она бесконечна лишь с "внешней" точки зрения или бесконечна внутри самой модели ZFC? Из Ваших пояснений я понял, что скорее первое. Но ведь тогда с "внешней" точки зрения $c$ не будет натуральным числом и я плохо понимаю, о какой "абсолютности" Вы говорите в пункте 3.

Н-да, башка плывёт... Завтра ещё раз подумаю, чтоб чётко всё осознать

[Ираклий]

Профессор Снэйп в сообщении #272877 писал(а):

Напомните, пожалуйста, определение "вполне фундированности".

Отношение Е на множестве Р называется вполне фундированным, если любое непустое Х$\subset$P имеет Е-минимальный элемент, т.е. такой m$\in$X, что $\forall h\in X \neg hEm$. Фактически это то же, что Вы сказали, только не требуется порядок.

Профессор Снэйп в сообщении #272877 писал(а):

Вот эта модель $\langle M, E \rangle$ --- она бесконечна лишь с "внешней" точки зрения или бесконечна внутри самой модели ZFC?

У нас имеется мета-теория ZFC. В ее рамках мы рассматриваем множество М, являющееся моделью ZFC (с отношением Е). С точки зрения мета-теории, разумеется, М - бесконечное множество. (У ZFC бывают счетные модели, но конечное множество не может быть моделью ZFC.) С точки зрения самой М, М множеством не является (является собственным классом).
Бесконечность М в мета-теории имеет место, но мне важнее бесконечность с точки зрения мета-теории $ext_E(c) $ для некоторого натурального в смысле М числа с.

Профессор Снэйп в сообщении #272877 писал(а):

Но ведь тогда с "внешней" точки зрения $c$ не будет натуральным числом и я плохо понимаю, о какой "абсолютности" Вы говорите в пункте 3.

Да, конечно, с не является натуральным числом. Но М не транзитивно. Абсолютность имеет место лишь для транзитивного множества. Я имею в виду следующее утверждение:
Теорема 3. Если U - транзитивный класс, $\varphi$ - $\Delta_0$-формула (т.е. формула с ограниченными кванторами), то $\varphi$ абсолютна для расширения U$\subset$V. (Последнее означает, что $\varphi \leftrightarrow \varphi^U$, где $\varphi^U$ - релятивизация $\varphi$ на U.)
Свойство "х - натуральное число" может быть записано $\Delta_0$-формулой, поэтому натуральные числа транзитивной модели Т являются натуральными числами с точки зрения мета-теории.

Профессор Снэйп в сообщении #272877 писал(а):

Завтра ещё раз подумаю, чтоб чётко всё осознать

Спасибо за участие! Надеюсь, разберемся.

[Профессор Снэйп]

Ираклий в сообщении #272914 писал(а):

Свойство "х - натуральное число" может быть записано $\Delta_0$-формулой

Угу. Так?

$\varphi_\varnothing(x) : \neg(\exists y \in x)(y = y) $
$\varphi_{\mathrm{succ}}(x,y) : (\forall z \in y)(z \in x \vee z = x) \mathop{\&} (\forall z \in x)(z \in y)$
$\varphi_{\mathrm{nonlim}}(x) : (\exists y \in x)\varphi_{\mathrm{succ}}(y,x)$
$\varphi_{\mathrm{trans}}(x) : (\forall y \in x)(\forall z \in y)(z \in x)$
$\varphi_{\mathrm{ord}}(x) : \varphi_{\mathrm{trans}}(x) \mathop{\&} (\forall y \in x)\varphi_{\mathrm{trans}}(y)$
$\varphi_{\mathrm{nat}}(x) : \varphi_{\mathrm{ord}}(x) \mathop{\&} (\varphi_\varnothing(x) \vee \varphi_{\mathrm{nonlim}}(x)) \mathop{\&} (\forall y \in x)(\varphi_\varnothing(y) \vee \varphi_{\mathrm{nonlim}}(y))$

Блин, глаза слипаются, спать пора. Если не разберёмся, у нас поллаборатории допустимыми множествами занимаются (сам я в них, если честно, слабо шарю); позвоню кому-нибудь, спрошу

-- Сб дек 19, 2009 02:58:35 --

P. S. Вроде допустимое множество --- это когда любой "внутренний" ординал вполне упорядочен с "внешней" точки зрения. Не здесь ли собака порылась?

[Ираклий]

Профессор Снэйп в сообщении #272921 писал(а):

Угу. Так?

Да, так.

Профессор Снэйп в сообщении #272921 писал(а):

Блин, глаза слипаются, спать пора. Если не разберёмся, у нас поллаборатории допустимыми множествами занимаются (сам я в них, если честно, слабо шарю); позвоню кому-нибудь, спрошу

А что это такое-то? Допусимые множества. (Погуглил, что-то сложное выходит )

Ираклий в сообщении #272927 писал(а):

P. S. Вроде допустимое множество --- это когда любой "внутренний" ординал вполне упорядочен с "внешней" точки зрения. Не здесь ли собака порылась?

Ну как-то не видно тут "порывшейся собаки". Нашу изначально произвольную модель М мы транзитивным коллапсом превращаем в транзитивную модель, изоморфную изначальной. А там уже абсолютность имеет место и противоречие получается

[Профессор Снэйп]

Ираклий в сообщении #272927 писал(а):

А что это такое-то? Допусимые множества.

А я подумал, что Вы допустимые множества изучаете, раз у Вас такие вопросы.

Точно не помню, но примерно следующее. Есть система аксиом KPU (от Крипке-Платек универсум). Та же самая ZF (или ZFC, не помню точно), только ещё добавляется семейство праэлементов, которые сами могут быть элементами множеств, но им ничего принадлежать не может. И ещё какая-то структура на праэлементах может быть задана. Типа праэлементы образуют модель, и над носителем этой модели строится теория множеств. Если множество праэлементов пусто, то KPU совпадает с ZF (или ZFC?) без аксиомы бесконечности.

А допустимое множество --- это модель KPU, в которой "внутренние" ординалы вполне упорядочены с "внешней" точки зрения. Как-то так, хотя в деталях могу ошибиться...

-- Сб дек 19, 2009 03:06:36 --

Ираклий в сообщении #272927 писал(а):

Ну как-то не видно тут "порывшейся собаки". Нашу изначально произвольную модель М мы транзитивным коллапсом превращаем в транзитивную модель, изоморфную изначальной. А там уже абсолютность имеет место и противоречие получается

Ну я завтра тогда подумаю. Сейчас уже моск не работает, четвёртый час ночи в Новосибирске.

[Ираклий]

Профессор Снэйп в сообщении #272928 писал(а):

А я подумал, что Вы допустимые множества изучаете, раз у Вас такие вопросы.

Да нет, я пока что изучаю Евангелие от Йеха книжку Йеха по теории множеств. Вот, ворпосы возникают.

[AGu]

Ираклий в сообщении #272694 писал(а):

1) Пусть (М, Е) такое, как утверждается в Теореме 1. Тогда E вполне фундировано.

Фишка, видать, в том, что E вполне фундировано внутри M, но не снаружи. Например, во (внешнем) множестве всех M-бесконечно больших M-натуральных чисел нет E-минимального.

[Ираклий]

AGu в сообщении #273051 писал(а):

Фишка, видать, в том, что E вполне фундировано внутри M, но не снаружи. Например, во (внешнем) множестве всех M-бесконечно больших M-натуральных чисел нет E-минимального.

Ой, а похоже ведь так оно и есть!! Я думал об этом раньше, но мне казалось, что Е будет внешне фундированным в силу такой теоремы:
Теорема 4. У любого непустого класса имеется $\in$-минимальный элемент.
Мне казалось, что в этой теореме неважно, имеем ли мы в виду под классом именно совокупность, принадлежность к которой выражается формулой или просто внешнее подмножество V. Но это не так! Сейчас ясно вижу, где в доказательстве этой теоремы важно, что речь идет именно о классе в первом смысле.
Противоречие снято, спасибо!