Когда интеграл сходится?

[MMM-2000]

Есть задача:
$f(x)$ непрерывная периодическая функция с периодом $T$ на $[1;+\infty]$ при каких значениях $\alpha$ сходится интеграл:

$$\int\limits_{1}^{+\infty} (f(x^2)+\alpha)dx $$

Я впринципе доказал, что такая точка единственная рассмотрев ряд:

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \int\limits_{\sqrt{nT}}^{\sqrt{(n+1)T}}{(f(x^2)+\alpha)}dx$$

Делая замену $x^2=t$, а потом $t-nT=a$ и применяя теорему о среднем получается что ряд сходится тогда и только тогда, когда $f(\xi)+\alpha=0$

Но теперь не знаю, от куда можно вытрести это самое значение.
Подскажите пожалуйста идею.

[ИСН]

Ну а что значит "откуда"? Можете записать его как предел, типа $\lim\limits_{x\to\infty}{\int\limits_0^xf(t^2)dt\over x}$, который по той же самой причине существует...

[ewert]

$$\int_1^{+\infty}{f(t)+\alpha\over2\sqrt{t}}\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{1+nT}^{1+nT+T}{f(t)+\alpha\over2\sqrt{t}}\,dt=$$

$$=\sum_{n=0}^{\infty}\left({A\over2\sqrt{1+nT}}+\int_{1+nT}^{1+nT+T}(f(t)+\alpha)\cdot\left({1\over2\sqrt{t}}-{1\over2\sqrt{1+nT}}\right)dt\right),$$

где $\displaystyle A\equiv\int_{1+nT}^{1+nT+T}(f(t)+\alpha)\,dt=\alpha\,T+\int_{1}^{1+T}f(t)\,dt$. Вторые слагаемые дают сходящийся ряд, т.к. разность дробей убывает как $n^{-3/2}$. А ряд из первых расходится -- кроме случая, когда $A=0$.

(непонятно, зачем составители застеснялись и не предложили интегрировать от нуля)

[MMM-2000]

Спасибо за идею. Я понял как можно получить искомое $\alpha$
Но все же интересно почему разность дробей убывает как $n^{-3/2}$?
У нас $t$ каждый раз из $[1+nT,1+nT+T]$ и соответственно разность будет тоже порядка $n^{-1/2}$.
Нам нужно чтобы ряд сходился (из вторых слагаемых зарание скажу что у меня получилось что он сходится тоже при $A=0$)
Я его оценил сверху по модулю верхним пределом. и потом нехитрыми оценками в знаменателях обоих дробей оставил $\sqrt{n}$ с коеффициентом.
Ну и все это домноженное на $A$. От сюда и получилось что ряд из вторых слагаемых сходится при $A=0$

[ewert]

MMM-2000 в сообщении #272972 писал(а):

Но все же интересно почему разность дробей убывает как $n^{-3/2}$?

$${1\over\sqrt{1+nT}}-{1\over\sqrt{t}}={\sqrt{t}-\sqrt{1+nT}\over\sqrt{t(1+nT)}}={t-(1+nT)\over\left(\sqrt{t}+\sqrt{1+nT}\right)\sqrt{t(1+nT)}}\leqslant{1\over2\sqrt{1+nT}\cdot(1+nT)}\;.$$

Или попросту: $\ \ \Delta(t^{-1/2})\sim-{1\over2}\,t^{-3/2}\cdot\Delta t$.

В общем, универсальная идея такая. Если бы знаменателя не было, то был бы просто интеграл от функции по периоду. А знаменатель его вроде бы искажает, но не сильно, т.к. чем дальше, тем он слабее меняется на протяжении периода. Ну так и надо прибавить и вычесть значение этого дополнительного множителя для какой-либо конкретной точки (неважно какой) из этого периода -- эта разность заведомо будет много меньше, чем сам множитель.

[MMM-2000]

Я значит применял слишком грубые оценки.
Спасибо за объяснения. =)