Равномерная непрерывность на бесконечном полуинтервале

[Mather]

Функция непрерывная на полуинтервале $[a;+\infty)$ и имеющая конечный предел при $x\to\infty$ является равномерно непрерывной на данном полуинтервале. Не могу никак доказать помогите плс

[ewert]

Сделайте замену типа $t={1\over x}$ (или со сдвигом, коли начало исходного промежутка левее нуля -- неважно). После неё-то уж точно функция станет равномерно непрерывной. Ну и теперь осталось лишь сопоставить её приращения до замены -- и после.

[Mather]

мне нужно общее решение)) просто дана функция .

-- Пт дек 18, 2009 19:50:14 --

тама неясно как ведёт себя функция в бесконечности

[ewert]

тама ясна -- ана тама предел имеет

[bot]

И без замены можно - где-нибудь поближе к тама разница между значениями станет меньше желаемого эпсилон, независимо от разницы между аргументами, а не тама останется отрезок, где Кантор своё слово сказал.

[Mather]

Дело в том что этто нуно доказать)) та ясно что будет меньше любого эпсилон))) показать никак не могу) ну если имеет конечный предел то он ограничен) из ограниченности функции на данном полуинтервале вытекает р.непрерывность... покажите это письменно плс

[Sasha2]

Наверно можно и в лоб показать.
Берем $\epsilon$.
По нему находим такое $\delta_1$, что $|f(x)-A|<\frac{\epsilon}{2}$, лишь только $x>2B$,
здесь A - предел нашей функции на бесконечности, а $B$ - некоторое положительное число, большее $a$. Тогда нетрудно видеть, что $|f(x')-f(x'')|<\epsilon$ для всех $x'$ и $x''$ на промежутке от $a$ до $+\infty$ и неважно, какое между ними расстояние.
Далее находим $\delta_2$ (в соответствии с тем, что функция равномерно непрерывна на отрезке $[a, 2B]$) такое, что для всех $x'$ и $x''$ этого отрезка также выполняется $|f(x')-f(x'')|<\epsilon$. А следовательно то же самое будет выполняться и для отрезка $[a, B]$.
Обе дельты теперь делаем меньше $|B|$ и берем меньшую из них за окончательную.
Теперь неравенство $|f(x')-f(x'')|<\epsilon$ заведомо справедливо для всех $x'$ и $x''$, больших $2B$ и меньшех $B$. Неприятности (кажущиеся на первый взгляд) могут возникать, когд один из $x'$ и $x''$ принадлежит отрезку $[a, B]$, а другая - отрезку $(B, 2B]$, но тут я предлагаю Вам самим убедиться, что в этом случае оба $x'$ и $x''$ либо оба меньше $2B$, либо оба больше $2B$