Несколько вопросов по функану

[ShMaxG]

1) Построить пополнение пространства
$ \[E = \left\{ {\left( {{x_n}} \right)|\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left| {{x_n}} \right|}} {n} < \infty } } \right\}\]$ с метрикой $\[\rho \left( {x,y} \right) = \mathop {\max }\limits_n \frac{{\left| {{x_n} - {y_n}} \right|}} {{{n^2}}}\] $.

Я утверждаю, что пополнением является пространство $E'$ с той же метрикой:
$\[E' = \left\{ {\left( {{x_n}} \right)|\mathop {\max }\limits_n \frac{{\left| {x_n^*} \right|}} {{{n^2}}} < \infty } \right\}\]$.

Сначала доказываю полноту. Берем произвольную фундаментальную последовательность $\[x_n^{\left( m \right)}\]$ из $E'$.

$\[\forall \varepsilon > 0{\text{ }}\exists N:\forall m,l \geqslant N{\text{ }}\forall n{\text{ }}\frac{{\left| {x_n^m - x_n^l} \right|}} {{{n^2}}}{\text{ < }}\varepsilon {\text{ }}\]$, т.е. $\[\left| {\widetilde{x}_n^m - \widetilde{x}_n^l} \right|{\text{ < }}\varepsilon \] $. Ну а "волновая" последовательность - обычная числовая последовательность, которая, как видим, является фундаментальной - значит она сходится (к некоторому $x_n^*$). Легко получить $\[\rho \left( {x_n^m,x_n^*} \right) \to 0,n \to \infty \] $.

Далее я проверяю принадлежность $x_n^* \in E'$:
$ \[\mathop {\max }\limits_n \frac{{\left| {x_n^*} \right|}} {{{n^2}}} \leqslant \mathop {\max }\limits_n \frac{{\left| {x_n^{\left( m \right)} - x_n^*} \right|}} {{{n^2}}} + \mathop {\max }\limits_n \frac{{\left| {x_n^{\left( m \right)}} \right|}} {{{n^2}}}\]$. Первое слагаемое справа можем сделать сколь угодно малым, а второе - конечное число. Так что $\[\mathop {\max }\limits_n \frac{{\left| {x_n^*} \right|}} {{{n^2}}} < \infty \] $.

Теперь, собственно, вопрос. В самом определении пополнения я пользовался тем, что максимум достигается на каком-то $n$. А здесь - $\[\mathop {\max }\limits_n \frac{{\left| {x_n^*} \right|}} {{{n^2}}}\]$ не ясно, достигается ли он или нет... Помогите разрешить эту проблему. Может быть следовало использовать супремум для условия принадлежности пространству $E'$? И метрику так же изменить?

2) Дано множество $\[K = \left\{ {{x_a}\left( t \right) = {t^a}|a \in \left[ {1; + \infty } \right)} \right\}\]$ в $\[C\left[ {0,1} \right]\]$. Хочу проверить его замкнутость.
Беру произвольную точку прикосновения, для нее существует последовательность из множества $K$, по норме к ней сходящаяся. Т.е. существует последовательность$ \[{a_n} \in \left[ {1; + \infty } \right)\]$ такая, что $\[\mathop {\max }\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \left| {{t^{{a_n}}} - y} \right| \to 0,n \to + \infty \]$ (здесь $y$ - эта точка прикосновения).

Если вдруг $a_n$ ограничена, то все понятно. А если не ограничена - то не очень понятно, что делать.

Мои мысли: тогда существует подпоследовательность, не сходящаяся к конечному числу, т.е.

$\[\exists \left\{ {{a_{{n_k}}}} \right\}_{k = 1}^\infty :\mathop {\lim }\limits_{k \to + \infty } {a_{{n_k}}} = + \infty \]$.

Тогда если предположить, что для некоторой функции $\[{t^{{a^*}}},{a^*}\left[ {1; + \infty } \right)\]$ из $K$ сходимость имеет место, то можем записать $\[\left| {{t^{{a_n}}} - {t^{{a^*}}}} \right| \leqslant 1 \cdot \left| {\frac{{{a^*}}} {{{a_{{n_k}}}}} - 1} \right|\]$ не стремится к нулю при $\[k \to \infty \]$. Но мы предполагали, что последовательность сходится. Противоречие - множество $K$ - замкнуто.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #272722 писал(а):

$\[\forall \varepsilon > 0{\text{ }}\exists N:\forall m,l \geqslant N{\text{ }}\forall n{\text{ }}\frac{{\left| {x_n^m - x_n^l} \right|}} {{{n^2}}}{\text{ < }}\varepsilon {\text{ }}\]$, т.е. $\[\left| {\widetilde{x}_n^m - \widetilde{x}_n^l} \right|{\text{ < }}\varepsilon \] $. Ну а "волновая" последовательность - обычная числовая последовательность, которая, как видим, является фундаментальной - значит она сходится (к некоторому $x_n^*$). Легко получить $\[\rho \left( {x_n^m,x_n^*} \right) \to 0,n \to \infty \] $.

Далее я проверяю принадлежность $x_n^* \in E'$:

На данный момент у Вас уже доказано существование $x^*_n$ как предела по $m$ последовательности $x^{(m)}_n$ для каждого фиксированного $n$. Теперь просто перейдите для каждого $n$ к пределу при $l\to\infty$ в неравенстве $\frac{\left| x_n^{(m)} - x_n^{(l)} \right|}{n^2}<\varepsilon$ при фиксированном $m$. Получится
$\frac{\left|x_n^{(m)} - x_n^*\right|}{n^2}<\varepsilon\quad \Rightarrow\quad\frac{\left|x_n^*\right|}{n^2}<\frac{\left|x_n^{(m)}\right|}{n^2}+\varepsilon \quad (\forall n)$,
т.е. $\max\limits_n\frac{\left| {x_n^*} \right|}{n^2}<\mathrm{const}$, т.е. предельная последовательность действительно принадлежит заявленному пространству.

Но, между прочим: полноту-то Вы более-менее доказали, а вот то, что исходное пространство плотно в новом -- пока нет...

ShMaxG в сообщении #272722 писал(а):

Если вдруг $a_n$ ограничена, то все понятно. А если не ограничена - то не очень понятно, что делать.

Если не ограничена, то по некоторой подпоследовательности уходит на бесконечность. Тогда соответствующая подпоследовательность функций стремится поточечно к разрывной и, следовательно, не сходится в $C([0;1])$.

[ShMaxG]

ewert в сообщении #272730 писал(а):

Теперь просто перейдите для каждого $n$ к пределу при $l\to\infty$ в неравенстве $\frac{\left| x_n^{(m)} - x_n^{(l)} \right|}{n^2}<\varepsilon$ при фиксированном $m$. Получится
$\frac{\left|x_n^{(m)} - x_n^*\right|}{n^2}<\varepsilon\quad \Rightarrow\quad\frac{\left|x_n^*\right|}{n^2}<\frac{\left|x_n^{(m)}\right|}{n^2}+\varepsilon \quad (\forall n)$,
т.е. $\max\limits_n\frac{\left| {x_n^*} \right|}{n^2}<\mathrm{const}$, т.е. предельная последовательность действительно принадлежит заявленному пространству.

Принадлежит - значит на некотором номере достигается максимум. А на каком? Вот когда мы переходим по $l$ к пределу, то $n$, на котором достигается максимум выражения $\[\frac{{\left| {x_n^{\left( m \right)} - x_n^{\left( l \right)}} \right|}} {{{n^2}}}\]$, вообще говоря тоже как-то меняется.. не понятно как. Или я чего-то не понимаю?

-- Пт дек 18, 2009 15:02:42 --

Плотность я уже доказал (просто здесь не написал об этом, проблемы только с максимумом)

[ewert]

ShMaxG в сообщении #272733 писал(а):

Принадлежит - значит на некотором номере достигается максимум. А на каком?

А зачем Вам, собственно, этот максимум?... Что в моей цепочке Вас не устраивает?...

(и с какой стати вообще этот максимум должен достигаться?...)

[ShMaxG]

ewert в сообщении #272730 писал(а):

$\frac{\left|x_n^{(m)} - x_n^*\right|}{n^2}<\varepsilon\quad \Rightarrow\quad\frac{\left|x_n^*\right|}{n^2}<\frac{\left|x_n^{(m)}\right|}{n^2}+\varepsilon \quad (\forall n)$,
т.е. $\max\limits_n\frac{\left| {x_n^*} \right|}{n^2}<\mathrm{const}$

Вот это следствие меня не устраивает. Из того, что $\[\forall n{\text{ }}\frac{{\left| {x_n^*} \right|}} {{{n^2}}} < \frac{{\left| {x_n^{\left( m \right)}} \right|}} {{{n^2}}} + \varepsilon \] $ не следует, что $\[\exists \mathop {\max }\limits_n \frac{{\left| {x_n^*} \right|}} {{{n^2}}} < \operatorname{const} \]$. Вдруг $\[\frac{{\left| {x_n^*} \right|}} {{{n^2}}} \to 1 - \] $, но никогда не достигает единицы?

[ewert]

Ну хорошо, я снебрежничал. Не максимум, а супремум. Но ведь и в описании пополнения -- тоже должен был стоять, очевидно, супремум. Иначе на полноту надеяться не приходится.

[ShMaxG]

Ок, тогда будем рассматривать $\[E' = \left\{ {\left( {{x_n}} \right)|\mathop {\sup }\limits_n \frac{{\left| {x_n^*} \right|}} {{{n^2}}} < \infty } \right\}\] $. Но, вообще говоря и метрику хорошо бы поменять на $\[\rho \left( {x,y} \right) = \mathop {\sup }\limits_n \frac{{\left| {{x_n}-{y_n}} \right|}} {{{n^2}}}\] $...

Ладно, с пары приду, посмотрю, что там...

[ewert]

ShMaxG в сообщении #272743 писал(а):

Ок, тогда будем рассматривать $\[E' = \left\{ {\left( {{x_n}} \right)|\mathop {\sup }\limits_n \frac{{\left| {x_n^*} \right|}} {{{n^2}}} < \infty } \right\}\] $. Но, вообще говоря и метрику хорошо бы поменять на $\[\rho \left( {x,y} \right) = \mathop {\sup }\limits_n \frac{{\left| {{x_n}-{y_n}} \right|}} {{{n^2}}}\] $...

Нет, вот это как раз не обязательно. В исходном пространстве существует именно максимум, так что формулировка задачи вполне корректна. А вот при пополнении -- придётся перейти к супремуму.

[ShMaxG]

В пополнении рассматривать супремум, и в метрике супремум?

-- Пт дек 18, 2009 17:33:03 --

Итак, при изменении метрики что нам нужно доказать для пополнения: полнота показывается аналогично, остается найти всюду плотное множество в $E'$, которое изометрично с пространством $E$. Достаточно ли в $E$ можно указать всюду плотное множество, которое всюду плотно в $E$ с первоначальной метрикой, причем которое будет всюду плотным и в $E'$ с измененной метрикой?

[ewert]

Не уверен, что понял вопрос, но на всякий случай: максимум -- это частный случай супремума.

[ShMaxG]

ewert в сообщении #272785 писал(а):

Не уверен, что понял вопрос, но на всякий случай: максимум -- это частный случай супремума.

Это понятно. Я хотел узнать, верно ли, что я рассматриваю пространство $\[E' = \left\{ {\left( {{x_n}} \right)|\mathop {\sup }\limits_n \frac{{\left| {x_n} \right|}} {{{n^2}}} < \infty } \right\}\]$ с метрикой $\[\rho \left( {x,y} \right) = \mathop {\sup }\limits_n \frac{{\left| {{x_n}} \right|}} {{{n^2}}}\]$ как пополнение пространства $\[E = \left\{ {\left( {{x_n}} \right)|\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left| {{x_n}} \right|}} {n}} < \infty } \right\}\]$ с метрикой $\[\rho \left( {x,y} \right) = \mathop {\max }\limits_n \frac{{\left| {{x_n}} \right|}} {{{n^2}}}\]$?

Вот вообще у меня еще такой вопрос есть. Одно ли это и то же определение пополнения:

Колмогоров: Пусть $R$ - метрическое пространство. Полное метрическое пространство $R^*$ называется пополнением пространства $R$, если:

1) $R$ является подпространством пространства $R^*$;
2) $R$ всюду плотно в $R^*$.

Далее доказывается теорема, что пополнение единственно с точностью до изометрии, оставляющем неподвижными точки из $R$.

Лекции: Полное метрическое пространство $(Y,d)$ называется пополнением метрического пространства $(X,\rho)$, если существует $d-$всюду плотное множество в $Y$, $Z \subset Y$, такое, что $\[\left( {X,\rho } \right) \sim \left( {Z,d} \right)\] $ (изометрия)

[ewert]

Да по идее-то -- все определения полноты моночленны $\copyright$ gris

С точностью до переформулировок.

[ShMaxG]

Ок, а как насчет

ShMaxG в сообщении #272777 писал(а):

Достаточно ли в $E$ можно указать всюду плотное множество, которое всюду плотно в $E$ с первоначальной метрикой, причем которое будет всюду плотным и в $E'$ с измененной метрикой?

Это докажет $E' \subset [E]$. А $[E] \subset E'$ - понятно, потому что всякая сходящаяся последовательность в $E$ является фундаментальной, а она будет фундаментальной и в $E'$ (потому что максимум - частный случай супремума), т.е. в $E'$ будет сходится к элементу из $E'$.

[ewert]

Наверное, достаточно, но -- смотря что в его качестве брать. Скорее всего, достаточно брать просто финитные функции (лень до конца додумывать).

[ShMaxG]

Ну да, финитные последовательности с рациональными членами вполне подойдут... Спасибо!