Окружности, вписываемые в четырехугольники

[Sasha2]

Вот есть такая теорема.
Если неизвестно, лежит ли вписанная окружность внутри данного четырехугольника или нет, то всегда можно утверждать, что сумма двух его надлежащим образом выбранных сторон равна сумме двух других его сторон.

Доказательство не вызывает затруднений.
Но автор просит рассмотреть и обратную теорему.
Проверьте пожалуйста, правильно ли я ее сформулировал

Обратная теорема: У всякого собственного четырехугольника, в котором имеется пара сторон, сумма которых равна сумме двух других его сторон имеется вписанная окружность, про которую неизвестно лежит она внутри или вне данного четырехугольника до тех пор, пока неизвестно являются ли стороны, о которых идет речь выше противоположными или смежными.

[Sasha2]

А с другой стороны, если откинуть случаи, когда в четырехугольник имеется две параллельные стороны (Очевидно, что у такого четырехугольника не может быть вневписанной окружности), то формулировка теоремы для вневписанной окружности значительно может быть упрощена.

Теорема: Для того чтобы четырехугольник, не имеющий двух параллельных сторон имел вневписанную окружность, необходимо и достаточно, чтобы в нем сумма двух смежных сторон была равна сумме двух других сторон.

Правда возникает трудность в указании биссектрис, пересечение которых определит центр данной вневписанной окружности. Интуитивно чувствуется, что в качестве биссектрисы внутреннего уггла надо брать ту биссектрису, которая принадлежит углу, лежащему против большего угла, но как это показать.