Предел \sin ( \pi \sqrt{ n^2+1})

[AKM]

Ну, в ноль он обращается именно в пределе, а не сразу.
Я повторяю свой вопрос:

$$\sin 0x=???\quad\sin 1x=???\quad\sin 2x=???\quad\sin 3x=???\quad\sin 4x=???\quad\ldots$$

$$\cos 0x=???\quad\cos 1x=???\quad\cos 2x=???\quad\cos 3x=???\quad\cos 4x=???\quad\ldots$$

Во какой предел, даже интернет на несколько минут отрубился.

[Panik]

при $n pi$

$$sin n\pi $$

будет равен нулю

-- Чт дек 17, 2009 00:18:20 --

так все понял надо что делать с

$$cos \pi n $$

-- Чт дек 17, 2009 00:28:38 --

$$(\sqrt{1-\sin^2{\pi {n}}}) (\sin{\frac{\pi }{\sqrt{n^2+1}+n}})$$

получается ноль после подстановки предела проверьте пожалуста не допустил ли я ошибки

[ewert]

Panik в сообщении #272196 писал(а):

Spektor в сообщении #272149 писал(а):

$$\lim_{n\to\infty}(\sin \ n( \pi \ \((1+1/2*n^2+o(1/n^2))$$

подправил

Какая-то загадочная дыскуссия. И не меньшая загадка -- кому вообще могла прийти в голову такая задачка. (Может, в этом-то -- "кому" -- и состоит содержательная часть задачи?...)

Если в $1/2*n^2$ подразумевается эн в квадрате в знаменателе -- то, естественно, ноль. Ибо первое пи-эн даёт лишь чередование знаков, всё же остальное откровенно бесконечно мало; а зачем тут ещё и о-маленькое вдогонку -- совершенно непонятно.

Если же тот эн в квадрате сидел в числителе -- то, не менее очевидно, предела нет; правда, только если о-маленькая от эн именно в минус квадрате или хотя бы в минус первой степени. Тогда задачка формально, да, содержательна (пусть и не точна); но по существу иначе как издевательством $\copyright$ я её всё же не назвал бы.

Сплошные загадки.

[Panik]

Огромное всем спасибо благодарю за помощь.

[antbez]

Panik в сообщении #272117 писал(а):

$$\lim_{n\to\infty}(\sin \pi \sqrt{ n^2+1})$$

пробывал вынести из под корня $N^2$ ни к чему не привело скажите с чего начать пожалуйста

$t=1/n$,

$$\lim_{t\to\ 0 } (\sin \pi \sqrt{ 1+ 1/t^2})= \lim_{t\to\ 0 } (\sin \frac {\pi} {t})$$

Если расписать так, то предела не существует.

[AlexandreII]

Предлагаю так:
$\lim_{n\to\infty} \sin \pi \sqrt{n^2+1} = \lim_{n\to\infty} \sin \pi \sqrt{n^2+1} - \sin \pi n = 2 \sin \pi \frac { \sqrt{n^2+1} - n}{2} \cos ....$
Посчитаем отдельно
$\sqrt{n^2+1} - n = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}$
Этот отдельный предел 0. Значит и исходный тоже 0

[zluka]

AlexandreII
Возможно, я конечно и не прав, но кто сказал, что n-целое?
Тогда $\sin(\pi n)$ вовсе не факт, что равен 0, и его нельзя безнаказно вычитать. Правда ведь?

[AlexandreII]

Если $n$ нецелое, можете для точного равенства вычесть $\sin(\pi n)$ и прибавить обратно.
Тогда первый предел (что я вычислял) равен 0, а второй
$\lim_{n\to \infty} \sin \pi n$. При нецелом $n$ он очевидно не существует, так что и исходный сл-но не существует.

P.S. обычно при нахождении пределов $n$ все-таки целое.

[Klekota]

Солидарен с коллегой, только бы расписал проще:

$|\sin(\pi\sqrt{n^2+1})|=|\sin(\pi\sqrt{n^2+1}-\pi n)|$

При переходе к лимиту дает 0.

$|\sin(\pi\sqrt{n^2+1})|=|\sin(\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}+n})|=0$

n-целое, так как мы рассматриваем последовательность {a(n)}.
Освежите определение предела))