Ряд Фурье

[JK.]

Дана функция $f(x)=\left\{ \begin {array} {ll} 1;& 2 \le x<4,\\2x-x^2-1;& 4 \le x<6,\\ 0;& 6 \le x <10 \end{array} \right $ Нужно разложить её в ряд Фурье.

Вопрос: нужно ли мне переместить начало координат в середину отрезка (в точку 6), или можно сразу воспользоваться формулами Эйлера - Фурье?
Ещё её надо разложить по косинусам на $4<x<10$. Собственно, вопрос тот же, нужно ли в этом случае перемещать ось $y$ в точку 4?

[ewert]

JK. в сообщении #269635 писал(а):

нужно ли мне переместить начало координат в середину отрезка (в точку 6),

Бессмысленно. Никакой особой пользы от этого не выйдет. Вот переместить в двойку -- небесполезно, интегралы станут хоть чуть, но попроще.

JK. в сообщении #269635 писал(а):

Ещё её надо разложить по косинусам на 4<x<10. Собственно, вопрос тот же, нужно ли в этом случае перемещать ось y в точку 4?

Нужно, и даже в некотором смысле -- обязательно. Кстати, это будет уже совсем другая функция (левый хвост проигнорируется). Какая-то откровенно неразумная формулировка задачи.

[JK.]

ewert в сообщении #269640 писал(а):

Бессмысленно. Никакой особой пользы от этого не выйдет. Вот переместить в двойку -- небесполезно, интегралы станут хоть чуть, но попроще.

Хм, нам давали формулы для коэффициентов ряда только на [-l:l] и [0:l]. Так как функция задана на [2;10], то придётся перенести начало координат. Пусть мы переместим ось y в точку 6 и продолжим функцию периодически. Тогда, например,

$$a_0=\frac 1 4 \left( \int\limits_{2}^{4} 1 dx + \int\limits_{4}^{6} (2x-x^2-1) dx + \int\limits_{6}^{10} 0 dx \right )$$

?

ewert в сообщении #269640 писал(а):

Нужно, и даже в некотором смысле -- обязательно. Кстати, это будет уже совсем другая функция (левый хвост проигнорируется). Какая-то откровенно неразумная формулировка задачи.

В данном случае переносим ось y в точку 4 и продлеваем периодически чётным образом. Тогда:

$$a_0=\frac 2 6 \left( \int\limits_{4}^{6} (2x-x^2-1) dx + \int\limits_{6}^{10} 0 dx \right )$$

?

[Leox]

Как вариант, я бьі ничего не перемещал а доопределил функцию на [-10,0] как нуль, затем продолжил периодически на всю ось. Тогда получим периодическую на [-10,10] функцию и можно применить указанньіе формульі.