Свойство простых чисел.

[Imperator]

Доказать, что не существует простого числа $p,$ для которого при $n>1$ выполнялось
бы равенство $p^{n}+1=2^{m}$ или при $n>2$ - равенство $p^{n}-1=2^{m}.$

[Руст]

Imperator писал(а):

Доказать, что не существует простого числа $p,$ для которого при $n>1$ выполнялось
бы равенство $p^{n}+1=2^{m}$ или при $n>2$ - равенство $p^{n}-1=2^{m}.$

Это слишком простая задача. Если n имеет нечётный простой делитель d, то n=dk и
$2^m=(p^k+1)(p^{(d-1)k}-p^{(d-2)k}+...+1)$,
что дает противоречие с тем, что эти числа взаимно просты и оба являются степенями двойки. Если n является положительной степенью двойки, то уравнение не разрешимо по модулю 4.