Определенный интеграл (вычислить площадь фигуры)

[Ёж]

Надо вычислить площадь фигуры, ограниченной линией $r=\frac{1}{2}+\cos\varphi$. Правильно ли,
$S=2\cdot\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{2\pi}{3}}(\frac{1}{2}+\cos\varphi)^2d\varphi$.

[Алексей К.]

Похоже, правильно. Только вот хотелось бы видеть в самом условии задачи намёк на ограничения по углу, взятые, видимо, из неотрицательности $r$. Там ведь вторая кривулька получается, вписанная в эту...

[ewert]

Алексей К. в сообщении #271927 писал(а):

Там ведь вторая кривулька получается, вписанная в эту...

Не получается -- эр ведь неотрицательно по определению...

[Алексей К.]

Разные бывают определения. Одни, например, пишут, что полярное уравнение гиперболы $r(\varphi)=\dfrac{p}{1+e\cos\varphi}$ описывает только одну ветвь гиперболы, другие, допуская $r<0$, не делают этой оговорки. Да и формулы дифф.геометрии не боятся отрицательного эр.

[Ёж]

Алексей К. в сообщении #271927 писал(а):

Похоже, правильно. Только вот хотелось бы видеть в самом условии задачи намёк на ограничения по углу, взятые, видимо, из неотрицательности $r$. Там ведь вторая кривулька получается, вписанная в эту...

Вот эта вторая кривулька и вызвала затруднение! Сначала построил сам исходя из условия $r\geq 0$. У меня получилось $0\leq \varphi\leq\frac{2\pi}{3} $ и $\frac{4\pi}{3}\leq \varphi\leq 0$ или $-\frac{2\pi}{3}\leq \varphi\leq\frac{2\pi}{3} $. Потом посмотрел в справочнике и обнаружил вторую петлю. Будет ли ошибкой, если не буду рисовать маленькую петлю, и не буду учитывать ее при вычислениях?

[Алексей К.]

Я не преподаватель, советы такие давать не рискую. Вот, ewert считает, что второй кривульки нет. Да и задача, похоже под это заточена. (Даже если вторая и есть, то она внутри первой, и как бы всё ограничено первой).
Я бы в Вашем решении просто дал бы явно понять, что Вы не пропустили этот момент, исходите из $r\ge 0$, и поэтому $-2\pi/3 \le \varphi \le 2\pi/3$, и второй кривулькой бы не заморачивался.
Раз уж в условии никаких намёков нет...

[Ёж]

Спасибо!