Равномерная сходимость послед-ти и интегральная сумма

[Mliva]

Доказать, что если функция $f(x)$ непрерывна на $\mathbb{R}$, то последовательность $\{ f_n(x) \}$, где $f_n(x) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n} f \left( x+\frac{k}{n} \right)$, сходится равномерно на любом конечном отрезке $[a,b]$.
-------
Во первых я заметил, что из себя представляет последовательность $f_n(x)$.
Несложно увидеть, что это последовательность интегральных сумм для функции $f(x)$ на отрезке $[x,x+1]$.
А это означает, что предельной функцией будет $F(x) = \int\limits_{x}^{x+1} f(x)\,dx$.
Кроме того, $F(x)$ непрерывна, т.к. $f(x)$ непрерывна.
Хотел предположить, что если последовательность непрерывных функций сходится на отрезке к непрерывной функции, то эта последовательность сходится к ней равномерно, однако обнаружил контрпример на это наглое утверждение. Подскажите, как закончить доказательство?

[ewert]

Воспользуйтесь тем, что непрерывная функция равномерно непрерывна на любом фиксированном промежутке, и останется там равномерно непрерывной, даже если сдвинуть хоть какую граничную точку на единичку. А между тем остаточный член для такой интегральной суммы (по отношению к предельному интегралу) -- явно оценивается через "модуль непрерывности".

[Mliva]

а можно уточнить, что такое "модуль непрерывности"?

[ewert]

По формальному определению равномерной непрерывности: для любого эпсилона, большего нуля, должна существовать такая дельта, что для любых двух аргументов, различающихся не более чем на эту дельту (независимо от места расположения той пары) разность значений функции на тех аргументах не превосходит того эпсилона.

Так вот, любая (она неоднозначно может выбираться) функция, ставящая в соответствие эпсилону необходимую дельту -- и называется модулем непрерывности.