Помогите, пожалуйста, решить дифф. уравнение.

[Imbalance]

$ \left\{ \begin{array}{l} y'+k^2y=f(x),\\ y(0)=y_0,\\ y'(0)=y_1, \end{array} \right. $
f интегрируема на [0;a] для любого a>0
k=const, k>0
нужно написать интегральное представление решения. подскажите хотя бы путь решения.
я, думаю, сначала решается характеристическое уравнение. его корень $-k^2$.
следовательно решение однородного уравнения: $C_0exp(-k^2x)$. а что делать дальше??

[Хорхе]

А дальше по учебнику:

Константу меняться заставили
И в уравнение подставили

После чего, собственно, проинтегрировали.

PS Смущает меня условие на производную в нуле -- из уравнения немедленно следует $y'(0) = k y_0 + f(0)$. Нигде вторая производная не пропущена?

[ewert]

(Оффтоп)

опять стишки...

Дальше -- стандартный метод вариации произвольной постоянной. Заменяем силком ту самую произвольную постоянную на неизвестную функцию. Подставляем что получилось в уравнение. После стандартного сокращения получаем условие на ту самую функцию. Выражаем эту производную явно, интегрируем -- вот Вам и интегральное представление.

Правда, при этом интегрировании появится ещё одна произвольная постоянная. Ну так надо её просто выбить начальным условием.

Правда, следующая правда в том, что у Вас два начальных условия вместо одного по штату. Но это уж совсем безобидно: это просто бред.

[Imbalance]

получается, что решение уравнения:
$y=c(x)exp(-k^2x)$
далее $c'(x)exp(-k^2x)=f(x)$
откуда $c(x)=B+\int f(x)exp(k^2x) dx$
значит $y=[B+\int f(x)exp(k^2x) dx]exp(-k^2x)$
это верно??

а дальше с помощью нач. условий B как-нибудь выражается??

[Imbalance]

и еще мб у меня действительно ошибка в начальном уравнении, и я попытался решить уравнение
$y''+k^2y=f(x)$ c теми же условиями: $y(0)=y_0, y'(0)=y_1, k>0$
у меня ответ получился:
$y= -\frac {cos(kx)}{k}\int f(x)sin(kx)dx+\frac {sin(kx)}{k}\int f(x)cos(kx)dx + Acos(kx)+Bsin(kx)$
продифференцировал, вроде правильный ответ.
а как из начальных условий найти константы A и B? подскажите плиз.