min с.в. , которые имеют экспоненциальное распределение

[maryru]

Пусть независимые случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют экспоненциальные распределения с параметрами $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Какое распределение имеет величина $min\{\xi,\eta\} ?
Такая вот задачка...хотелось бы узнать в правильном ли направлении я мыслю...может кто подскажет варианты решения...
Расписала $min\{\xi,\eta\}< z так $\{\xi<z\}\cup\{\eta<z\}$
Плотность экспоненциального распределения обоих св известна.
$ f_\xi(x)= \left\{ \begin{array}{l} \alpha exp(-\alpha x),x>0 \\ 0, inache \end{array} \right. $ и
$ f_\eta(x)= \left\{ \begin{array}{l} \beta exp(-\beta x),x>0 \\ 0, inache \end{array} \right. $
Раз величины независимы, значит функция распределения может расписаться так:
$F_\xi,\eta(x_1,x_2)=F_\xi(x_1)F_\eta(x_2)=P(\xi<x_1)P(\eta<x_2)$
Далее не могу понять как расписать распределение min....

[PAV]

Общий прием, который всегда нужно помнить: если имеете объединение - то может помочь переход к противоположному событию. Начните с соотношения

$$P(\min\{\xi,\eta\}<z)=1-P(\min\{\xi,\eta\}\ge z)$$

-- Пн дек 14, 2009 18:13:27 --

А дальше - аналогично тому, что делали.

[maryru]

Я правильно поняла?))
$P(\min\{\xi,\eta\}<z)=1-(P(\min\{\xi,\eta\}\ge z)=1-(P(\xi\ge z) P(\eta\ge z))=1-((1-P(\xi<z))(1-P(\eta<z)))=1-(1-(1-exp(-\alpha z))(1-(1-exp(-\beta z))))=1-exp(-(\alpha+\beta)z)$

[--mS--]

maryru в сообщении #272167 писал(а):

Я правильно поняла?))
$P(\min\{\xi,\eta\}<z)=1-(P(\min\{\xi,\eta\}\ge z)=1-(P(\xi\ge z) P(\eta\ge z))=1-((1-P(\xi<z))(1-P(\eta<z)))=1-(1-(1-\exp(-\alpha z))(1-(1-\exp(-\beta z))))=1-\exp(-(\alpha+\beta)z)$

Это при $z>0$, и $0$ при $z \leqslant 0$.